Силова електроніка та приводи: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

DC-DC перетворювачі

Знижувальний
Vo = D·Vin
Підвищувальний
Vo = Vin/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей
VinIin = VoIo
Пульсації струму котушки
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Середній струм котушки
знижувальний Io; підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io/(1 − D)
Пульсації виходу
знижувальний ΔIL/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів
знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

  1. Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
  2. Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
  3. Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

2Задачі для практики

1.DC-DC перетворювачіСередня
+−12 VLSCR = 8 Ω+−16 V

Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 12 V на 16 V для навантаження 8 Ω. Знайдіть середній струм котушки IL.

Vin​ = 12 VVo​ = 16 VR = 8 Ω
IL = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
tvo​Vo​ΔV = ?DTT2T

Знижувальний перетворювач перетворює 9 V на 6,3 V для навантаження 2 Ω на частоті 500 kHz при L = 33 µH і C = 100 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔVo у mV.

Vin​ = 9 VVo​ = 6,3 Vf = 500 kHzL = 33 µHC = 100 µF
ΔVo = mV
3.Двигуни постійного струмуСередня
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Двигун постійного струму з k = 0,4 V·s/rad працює від 110 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n0 у rpm.

V = 110 Vk = 0,4 V·s/rad
n0 = rpm
4.Двигуни постійного струмуСкладна
+−48 VRst​ = ?Ra​ = 0,25 Ω10 AM+−E = 0n = 0T

Двигун постійного струму на 48 V має опір якоря 0,25 Ω. Знайдіть послідовний пусковий опір Rst, який обмежує пусковий струм до 10 A.

V = 48 VRa = 0,25 ΩImax = 10 A
Rst = Ω
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
240 V14 kW, 0,823 kW, 1I

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 4 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним) і нагрівач потужністю 3 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 240 VP1 = 4 kW, pf1 = 0,8 відстаючийP2 = 3 kW, pf2 = 1
cos φ =
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P1​ = 23 kWQ1​S1​φ

Однофазний трансформатор потужністю 75 kVA живить навантаження 23 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

Smax = 75 kVAP1 = 23 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
7.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M15 kW, η = 94%cos φ = 0,86

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 15 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 94%, а коефіцієнт потужності 0,86, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм IL.

Pout = 15 kWη = 94%cos φ = 0,86VL = 400 V
IL = A
8.Трифазні системиСкладна
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 120 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 120 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Розчини

1.DC-DC перетворювачі

Відповідь: IL = 2,667 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 1 − 12/16 = 0,25

Струм навантаження

Io = 16/8 = 2 A

Струм котушки

IL = Io/(1 − D) = 2/0,75 = 2,667 A

Відповідь

IL = 2,667 A
2.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔVo = 0,2864 mV

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 6,3/9 = 0,7

Струм пульсацій котушки

ΔIL = (9 − 6,3)·0,7/(33·10⁻⁶·500·10³) = 0,1145 A

Пульсації виходу

ΔVo = 0,1145/(8·500·10³·100·10⁻⁶) = 0,2864 mV

Відповідь

ΔVo = 0,2864 mV
3.Двигуни постійного струму

Відповідь: n0 = 2626 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 110/0,4 = 275 rad/s
n0 = 60·275/(2π) = 2626 rpm

Відповідь

n0 = 2626 rpm
4.Двигуни постійного струму

Відповідь: Rst = 4,55 Ω

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Повний опір

Ra + Rst = 48/10 = 4,8 Ω

Пусковий резистор

Rst = 4,8 − 0,25 = 4,55 Ω

Відповідь

Rst = 4,55 Ω

Резистор виводять покроково, у міру того як двигун розганяється, а зворотна ЕРС зростає.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,9191

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q1 = 4·tan(arccos 0,8) = 3 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

Сумарні значення

P = 4 + 3 = 7 kW
Q = 3 + 0 = 3 kvar
S = √(7² + 3²) = 7,616 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 7/7,616 = 0,9191 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,9191
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 49,2 kW

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність наявного навантаження

Q1 = 23·tan(arccos 0,75) = 20,28 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = Smax, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 20,28²) = 72,2 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 72,2 − 23 = 49,2 kW

Відповідь

ΔP = 49,2 kW
7.Трифазні системи

Відповідь: IL = 26,78 A

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Електрична вхідна потужність

Pin = Pout/η = 15/0,94 = 15,96 kW

Струм лінії

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 15957/(√3·400·0,86) = 26,78 A

Відповідь

IL = 26,78 A
8.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 311,5 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,8) = 120·0,75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 50,56 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16853/(314,2·415²) = 311,5 µF

Відповідь

Cph = 311,5 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics