Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.
Двигуни постійного струму
Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc
Метод
Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
2Задачі для практики
1.DC-DC перетворювачіСередня
Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 24 V на 80 V на частоті 40 kHz при L = 330 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔIL.
Vin = 24 VVo = 80 Vf = 40 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
Ідеальний інвертувальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 12 V на −4 V для навантаження 50 Ω на частоті 20 kHz. Знайдіть найменшу індуктивність Lcrit для режиму безперервних струмів.
Vin = 12 VVo = −4 Vf = 20 kHzR = 50 Ω
Lcrit = µH
3.Двигуни постійного струмуСередня
Двигун постійного струму з k = 1,5 N·m/A і Ra = 2 Ω під’єднано до 110 V. Знайдіть його стопорний момент Tstall, тобто момент при нульовій швидкості.
V = 110 Vk = 1,5 N·m/ARa = 2 Ω
Tstall = N·m
4.Двигуни постійного струмуСкладна
Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,8 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) від шини постійного струму 240 V. Середня напруга якоря дорівнює D·240 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 1500 rpm з навантаженням 12 N·m.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Індуктивне навантаження споживає 10 A і 840 W від однофазної мережі 120 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.
V = 120 VI = 10 AP = 840 W
X = Ω
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 30 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть новий струм лінії Inew.
P = 30 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.Трифазні системиСередня
Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 18 + j24 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 208 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.
VL = 208 VZ = 18 + j24 Ω на фазу
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.
P = 80 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Розчини
1.DC-DC перетворювачі
Відповідь: ΔIL = 1,273 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 1 − 24/80 = 0,7
Напруга на котушці під час увімкненого стану
Поки S увімкнений, котушка підключена безпосередньо до Vin.
VL = 24 V
Струм пульсацій
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,7/(330·10⁻⁶·40·10³) = 1,273 A
Відповідь
ΔIL = 1,273 A
2.DC-DC перетворювачі
Відповідь: Lcrit = 703,1 µH
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 4/(12 + 4) = 0,25
Умова на межі
Прирівняйте середній струм котушки до половини струму пульсацій і розв’яжіть відносно L.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
Критична індуктивність
Lcrit = (1 − 0,25)²·50/(220·10³) = 703,1 µH
Відповідь
Lcrit = 703,1 µH
3.Двигуни постійного струму
Відповідь: Tstall = 82,5 N·m
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Стопорний струм
Ia = V/Ra = 110/2 = 55 A
Стопорний момент
Tstall = 1,5·55 = 82,5 N·m
Відповідь
Tstall = 82,5 N·m
4.Двигуни постійного струму
Відповідь: D = 55,48 %
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Потрібна напруга якоря
Va = 0,8·157,1 + 15·0,5 = 133,2 V
Коефіцієнт заповнення
D = 133,2/240 = 55,48 %
Відповідь
D = 55,48 %
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: X = 8,57 Ω
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Активний опір з активної потужності
R = P/I² = 840/10² = 8,4 Ω
Реактивний опір з повного опору
|Z| = V/I = 120/10 = 12 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(12² − 8,4²) = 8,57 Ω
Відповідь
X = 8,57 Ω
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: Inew = 135,9 A
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(41,41°) = 26,46 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(23,07°) = 12,78 kvar
QC = Q1 − Q2 = 13,68 kvar
Новий струм лінії
Inew = P/(V·cos φ2) = 30000/(240·0,92) = 135,9 A
Відповідь
Inew = 135,9 A
7.Трифазні системи
Відповідь: P = 2,596 kW
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазна напруга
Vph = VL = 208 V
Фазний струм
|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 208/30 = 6,933 A
Сумарна активна потужність
Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.
P = 3·Iph²·R = 3·6,933²·18 = 2,596 kW
Відповідь
P = 2,596 kW
Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.
8.Трифазні системи
Відповідь: Cph = 290,2 µF
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 43,76 kvar
Ємність на фазу
У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.