Силова електроніка та приводи: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

DC-DC перетворювачі

Знижувальний
Vo = D·Vin
Підвищувальний
Vo = Vin/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей
VinIin = VoIo
Пульсації струму котушки
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Середній струм котушки
знижувальний Io; підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io/(1 − D)
Пульсації виходу
знижувальний ΔIL/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів
знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

  1. Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
  2. Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
  3. Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

2Задачі для практики

1.DC-DC перетворювачіСередня
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Знижувальний перетворювач перетворює 15 V на 10,5 V для навантаження 2 Ω. Він комутується на частоті 25 kHz при L = 33 µH. Знайдіть піковий струм котушки Imax.

Vin​ = 15 VVo​ = 10,5 Vf = 25 kHzL = 33 µHR = 2 Ω
Imax = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
+−48 VLSC = 100 µFR = 50 Ω+−80 V

Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 48 V на 80 V для навантаження 50 Ω на частоті 100 kHz. Вихідний конденсатор має 100 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔVo у mV.

Vin​ = 48 VVo​ = 80 Vf = 100 kHzC = 100 µFR = 50 Ω
ΔVo = mV
3.Двигуни постійного струмуСередня
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Двигун постійного струму з k = 0,3 N·m/A і Ra = 0,4 Ω під’єднано до 48 V. Знайдіть його стопорний момент Tstall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 48 Vk = 0,3 N·m/ARa = 0,4 Ω
Tstall = N·m
4.Двигуни постійного струмуСкладна
+−110 VRa​ = 2,5 ΩM+−EωT

Малий двигун постійного струму має опір якоря 2,5 Ω і працює від 110 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність Pmax, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 110 VRa = 2,5 Ω
Pmax = W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
240 V14 kW, 0,7211 kW, 0,8I

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 4 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і навантаження 11 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (ємнісним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 240 VP1 = 4 kW, pf1 = 0,7 відстаючийP2 = 11 kW, pf2 = 0,8 ємнісний
cos φ =
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазне навантаження споживає 10 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 230 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть реактивну потужність QC, яку має постачати конденсатор.

P = 10 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 208 VIL​ = 80 Acos φ = 0,7відстаючий

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 80 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,7, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

VL = 208 VIL = 80 Acos φ = 0,7
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 60 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Розчини

1.DC-DC перетворювачі

Відповідь: Imax = 7,159 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 10,5/15 = 0,7

Середній струм і пульсації струму

Io = 10,5/2 = 5,25 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,7/(33·10⁻⁶·25·10³) = 3,818 A

Піковий струм

Imax = 5,25 + 3,818/2 = 7,159 A

Відповідь

Imax = 7,159 A
2.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔVo = 64 mV

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 1 − 48/80 = 0,4

Струм навантаження

Io = 80/50 = 1,6 A

Пульсації виходу

ΔVo = 1,6·0,4/(100·10³·100·10⁻⁶) = 64 mV

Відповідь

ΔVo = 64 mV
3.Двигуни постійного струму

Відповідь: Tstall = 36 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

Ia = V/Ra = 48/0,4 = 120 A

Стопорний момент

Tstall = 0,3·120 = 36 N·m

Відповідь

Tstall = 36 N·m
4.Двигуни постійного струму

Відповідь: Pmax = 1210 W

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V

Максимальна потужність

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 110²/(4·2,5) = 1210 W

Відповідь

Pmax = 1210 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,9635

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q1 = 4·tan(arccos 0,7) = 4,081 kvar
Q2 = −11·tan(arccos 0,8) = −8,25 kvar

Сумарні значення

P = 4 + 11 = 15 kW
Q = 4,081 + (−8,25) = −4,169 kvar
S = √(15² + (−4,169)²) = 15,57 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 15/15,57 = 0,9635 ємнісний

Відповідь

cos φ = 0,9635
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: QC = 9,661 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(49,46°) = 11,69 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11,48°) = 2,031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9,661 kvar

Відповідь

QC = 9,661 kvar
7.Трифазні системи

Відповідь: P = 20,17 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Повна потужність

S = √3·VL·IL = √3·208·80 = 28,82 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 28,82·0,7 = 20,17 kW

Відповідь

P = 20,17 kW
8.Трифазні системи

Відповідь: QC = 32,27 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 32,27 kvar

Відповідь

QC = 32,27 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics