Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.
Двигуни постійного струму
Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc
Метод
Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
2Задачі для практики
1.DC-DC перетворювачіСередня
Знижувальний перетворювач перетворює 36 V на 21,6 V для навантаження 5 Ω. Він комутується на частоті 100 kHz при L = 33 µH. Знайдіть піковий струм котушки Imax.
Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 24 V на 80 V для навантаження 25 Ω на частоті 50 kHz. Знайдіть найменшу індуктивність Lcrit для режиму безперервних струмів.
Vin = 24 VVo = 80 Vf = 50 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
3.Двигуни постійного струмуСередня
Двигун постійного струму (k = 0,75 N·m/A, Ra = 1 Ω) працює від 48 V і приводить навантаження з моментом 3,75 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.
V = 48 Vk = 0,75 N·m/ARa = 1 ΩT = 3,75 N·m
n = rpm
4.Двигуни постійного струмуСкладна
Двигун постійного струму (k = 0,75 V·s/rad, Ra = 0,25 Ω) на сталій напрузі 240 V приводить навантаження 22,5 N·m. Знайдіть послідовний опір Rs, який зменшує його швидкість до 600 rpm.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
До однофазної мережі 400 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 25 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і навантаження 7 kW з коефіцієнтом потужності 0,9 (індуктивним). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 45 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть реактивну потужність QC, яку має постачати конденсатор.
P = 45 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.Трифазні системиСередня
Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 16 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 480 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.
VL = 480 VZ = 16 + j12 Ω на фазу
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Розчини
1.DC-DC перетворювачі
Відповідь: Imax = 5,629 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 21,6/36 = 0,6
Середній струм і пульсації струму
Io = 21,6/5 = 4,32 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 14,4·0,6/(33·10⁻⁶·100·10³) = 2,618 A
Піковий струм
Imax = 4,32 + 2,618/2 = 5,629 A
Відповідь
Imax = 5,629 A
2.DC-DC перетворювачі
Відповідь: Lcrit = 15,75 µH
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 1 − 24/80 = 0,7
Умова на межі
Прирівняйте середній струм котушки до половини струму пульсацій і розв’яжіть відносно L.
Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)
Критична індуктивність
Lcrit = 0,7(1 − 0,7)²·25/(250·10³) = 15,75 µH
Відповідь
Lcrit = 15,75 µH
3.Двигуни постійного струму
Відповідь: n = 547,5 rpm
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Струм якоря
Ia = T/k = 3,75/0,75 = 5 A
Зворотна ЕРС і швидкість
E = 48 − 5·1 = 43 V
ω = E/k = 57,33 rad/s → n = 547,5 rpm
Відповідь
n = 547,5 rpm
4.Двигуни постійного струму
Відповідь: Rs = 6,179 Ω
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Струм і зворотна ЕРС
Ia = 22,5/0,75 = 30 A
E = 0,75·62,83 = 47,12 V
Послідовний опір
Ra + Rs = (240 − 47,12)/30 = 6,429 Ω
Rs = 6,179 Ω
Відповідь
Rs = 6,179 Ω
Резистор розсіює 5561 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: I = 107,8 A
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність кожного навантаження
Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).
Q1 = 25·tan(arccos 0,7) = 25,51 kvar
Q2 = 7·tan(arccos 0,9) = 3,39 kvar
Сумарні значення
P = 25 + 7 = 32 kW
Q = 25,51 + 3,39 = 28,9 kvar
S = √(32² + 28,9²) = 43,12 kVA
Загальний струм
I = S/V = 43115/400 = 107,8 A
Відповідь
I = 107,8 A
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: QC = 30,82 kvar
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(49,46°) = 52,61 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(25,84°) = 21,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 30,82 kvar
Відповідь
QC = 30,82 kvar
7.Трифазні системи
Відповідь: P = 27,65 kW
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазна напруга
Vph = VL = 480 V
Фазний струм
|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω
Iph = 480/20 = 24 A
Сумарна активна потужність
Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.
P = 3·Iph²·R = 3·24²·16 = 27,65 kW
Відповідь
P = 27,65 kW
Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.
8.Трифазні системи
Відповідь: QC = 34,24 kvar
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.