Силова електроніка та приводи: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

DC-DC перетворювачі

Знижувальний
Vo = D·Vin
Підвищувальний
Vo = Vin/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей
VinIin = VoIo
Пульсації струму котушки
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Середній струм котушки
знижувальний Io; підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io/(1 − D)
Пульсації виходу
знижувальний ΔIL/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів
знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

  1. Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
  2. Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
  3. Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

2Задачі для практики

1.DC-DC перетворювачіСередня
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Ідеальний інвертувальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 48 V на −48 V на частоті 100 kHz при L = 150 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔIL.

Vin​ = 48 VVo​ = −48 Vf = 100 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
tvo​Vo​ΔV = ?DTT2T

Знижувальний перетворювач перетворює 9 V на 4,5 V для навантаження 12 Ω на частоті 50 kHz при L = 330 µH і C = 220 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔVo у mV.

Vin​ = 9 VVo​ = 4,5 Vf = 50 kHzL = 330 µHC = 220 µF
ΔVo = mV
3.Двигуни постійного струмуСередня
T (N·m)n (rpm)3,6 N·mn0​n = ?

Двигун постійного струму (k = 0,6 N·m/A, Ra = 1 Ω) працює від 48 V і приводить навантаження з моментом 3,6 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 48 Vk = 0,6 N·m/ARa = 1 ΩT = 3,6 N·m
n = rpm
4.Двигуни постійного струмуСкладна
+−120 VRa​ = 0,25 ΩM+−En = ?T = 12 N·m

Двигун постійного струму незалежного збудження (k = 0,6 V·s/rad при повному полі, Ra = 0,25 Ω, V = 120 V) приводить навантаження зі сталим моментом 12 N·m. Магнітний потік збудження зменшують до 85 % від повного значення. Знайдіть нову швидкість n.

V = 120 Vk = 0,6 V·s/radRa = 0,25 ΩT = 12 N·mΦ = 85 %
n = rpm
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
240 V13 kW, 0,7214 kW, 1I

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 3 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і нагрівач потужністю 14 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 240 VP1 = 3 kW, pf1 = 0,7 відстаючийP2 = 14 kW, pf2 = 1
cos φ =
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
400 V50 Hzнавантаження8 kW, 0,75C33 µFI

Однофазне навантаження споживає 8 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним) від мережі 400 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 33 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

P = 8 kWpf1 = 0,75V = 400 Vf = 50 HzC = 33 µF
cos φ =
7.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 415 VIL​ = 60 Acos φ = 0,7відстаючий

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 60 A від мережі з лінійною напругою 415 V. Коефіцієнт потужності 0,7, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

VL = 415 VIL = 60 Acos φ = 0,7
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 250 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Розчини

1.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔIL = 1,6 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 48/(48 + 48) = 0,5

Напруга на котушці під час увімкненого стану

Поки S увімкнений, котушка підключена безпосередньо до Vin.

VL = 48 V

Струм пульсацій

ΔIL = VL·D/(L·f) = 48·0,5/(150·10⁻⁶·100·10³) = 1,6 A

Відповідь

ΔIL = 1,6 A
2.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔVo = 1,55 mV

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 4,5/9 = 0,5

Струм пульсацій котушки

ΔIL = (9 − 4,5)·0,5/(330·10⁻⁶·50·10³) = 0,1364 A

Пульсації виходу

ΔVo = 0,1364/(8·50·10³·220·10⁻⁶) = 1,55 mV

Відповідь

ΔVo = 1,55 mV
3.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 668,5 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

Ia = T/k = 3,6/0,6 = 6 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 48 − 6·1 = 42 V
ω = E/k = 70 rad/s → n = 668,5 rpm

Відповідь

n = 668,5 rpm
4.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 2137 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Константа двигуна при послабленому полі

k₂ = 0,85·0,6 = 0,51 V·s/rad

Новий струм якоря

Ia = 12/0,51 = 23,53 A

Нова швидкість

ω = (120 − 23,53·0,25)/0,51 = 223,8 rad/s → n = 2137 rpm

Відповідь

n = 2137 rpm

Послаблення поля — це спосіб, яким привід постійного струму працює вище за базову швидкість.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,9842

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q1 = 3·tan(arccos 0,7) = 3,061 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

Сумарні значення

P = 3 + 14 = 17 kW
Q = 3,061 + 0 = 3,061 kvar
S = √(17² + 3,061²) = 17,27 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 17/17,27 = 0,9842 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,9842
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,829

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = 8·tan(arccos 0,75) = 7,055 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·33·10⁻⁶ = 1659 var = 1,659 kvar
Q2 = 7,055 − 1,659 = 5,397 kvar

Нова повна потужність

S2 = √(8² + 5,397²) = 9,65 kVA

Новий коефіцієнт потужності

cos φ = P/S2 = 8/9,65 = 0,829

Відповідь

cos φ = 0,829
7.Трифазні системи

Відповідь: P = 30,19 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Повна потужність

S = √3·VL·IL = √3·415·60 = 43,13 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 43,13·0,7 = 30,19 kW

Відповідь

P = 30,19 kW
8.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 785,2 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0,78) = 250·0,8023 = 200,6 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 118,4 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 39466/(314,2·400²) = 785,2 µF

Відповідь

Cph = 785,2 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics