Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.
Двигуни постійного струму
Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc
Метод
Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
2Задачі для практики
1.DC-DC перетворювачіСередня
Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 36 V на 72 V на частоті 25 kHz при L = 220 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔIL.
Vin = 36 VVo = 72 Vf = 25 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
Знижувальний перетворювач перетворює 9 V на 3,6 V на частоті 40 kHz при L = 100 µH. Знайдіть найменший струм навантаження Io,min, за якого він залишається в режимі безперервних струмів.
Vin = 9 VVo = 3,6 Vf = 40 kHzL = 100 µH
Io,min = A
3.Двигуни постійного струмуСередня
Двигун постійного струму (k = 0,12 N·m/A, Ra = 0,5 Ω) працює від 48 V і приводить навантаження з моментом 0,72 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.
V = 48 Vk = 0,12 N·m/ARa = 0,5 ΩT = 0,72 N·m
n = rpm
4.Двигуни постійного струмуСкладна
Двигун постійного струму на 220 V має опір якоря 0,4 Ω. Знайдіть послідовний пусковий опір Rst, який обмежує пусковий струм до 30 A.
V = 220 VRa = 0,4 ΩImax = 30 A
Rst = Ω
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
До однофазної мережі 400 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 30 kW з коефіцієнтом потужності 0,65 (індуктивним) і навантаження 17 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 4 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 400 V, 60 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 68 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.
P = 4 kWpf1 = 0,6V = 400 Vf = 60 HzC = 68 µF
cos φ =
7.Трифазні системиСередня
Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 24 + j7 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 415 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.
VL = 415 VZ = 24 + j7 Ω на фазу
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 300 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.
P = 300 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Розчини
1.DC-DC перетворювачі
Відповідь: ΔIL = 3,273 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 1 − 36/72 = 0,5
Напруга на котушці під час увімкненого стану
Поки S увімкнений, котушка підключена безпосередньо до Vin.
VL = 36 V
Струм пульсацій
ΔIL = VL·D/(L·f) = 36·0,5/(220·10⁻⁶·25·10³) = 3,273 A
Відповідь
ΔIL = 3,273 A
2.DC-DC перетворювачі
Відповідь: Io,min = 0,27 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 3,6/9 = 0,4
Струм пульсацій
ΔIL = 3,6·0,6/(100·10⁻⁶·40·10³) = 0,54 A
Струм навантаження на межі
Io,min = ΔIL/2 = 0,27 A
Відповідь
Io,min = 0,27 A
Нижче від цього струму перетворювач переходить у режим перервних струмів, і Vo піднімається вище за D·Vin.
3.Двигуни постійного струму
Відповідь: n = 3581 rpm
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Струм якоря
Ia = T/k = 0,72/0,12 = 6 A
Зворотна ЕРС і швидкість
E = 48 − 6·0,5 = 45 V
ω = E/k = 375 rad/s → n = 3581 rpm
Відповідь
n = 3581 rpm
4.Двигуни постійного струму
Відповідь: Rst = 6,933 Ω
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Повний опір
Ra + Rst = 220/30 = 7,333 Ω
Пусковий резистор
Rst = 7,333 − 0,4 = 6,933 Ω
Відповідь
Rst = 6,933 Ω
Резистор виводять покроково, у міру того як двигун розганяється, а зворотна ЕРС зростає.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: cos φ = 0,6676
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність кожного навантаження
Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).
Q1 = 30·tan(arccos 0,65) = 35,07 kvar
Q2 = 17·tan(arccos 0,7) = 17,34 kvar
Сумарні значення
P = 30 + 17 = 47 kW
Q = 35,07 + 17,34 = 52,42 kvar
S = √(47² + 52,42²) = 70,4 kVA
Загальний коефіцієнт потужності
cos φ = P/S = 47/70,4 = 0,6676 відстаючий
Відповідь
cos φ = 0,6676
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: cos φ = 0,9557
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = 4·tan(arccos 0,6) = 5,333 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·60·68·10⁻⁶ = 4102 var = 4,102 kvar
Q2 = 5,333 − 4,102 = 1,232 kvar
Нова повна потужність
S2 = √(4² + 1,232²) = 4,185 kVA
Новий коефіцієнт потужності
cos φ = P/S2 = 4/4,185 = 0,9557
Відповідь
cos φ = 0,9557
7.Трифазні системи
Відповідь: P = 19,84 kW
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазна напруга
Vph = VL = 415 V
Фазний струм
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 415/25 = 16,6 A
Сумарна активна потужність
Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.
P = 3·Iph²·R = 3·16,6²·24 = 19,84 kW
Відповідь
P = 19,84 kW
Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,96, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.
8.Трифазні системи
Відповідь: Cph = 1272 µF
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 300·tan(acos 0,72) = 300·0,9639 = 289,2 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,98) = 300·0,2031 = 60,92 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 228,2 kvar
Ємність на фазу
У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.