Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.
Двигуни постійного струму
Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc
Метод
Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
2Задачі для практики
1.DC-DC перетворювачіСередня
Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 24 V на 96 V для навантаження 10 Ω. Знайдіть середній струм котушки IL.
Vin = 24 VVo = 96 VR = 10 Ω
IL = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
Ідеальний знижувальний перетворювач перетворює 48 V на 24 V для навантаження 50 Ω на частоті 100 kHz. Знайдіть найменшу індуктивність Lcrit для режиму безперервних струмів.
Vin = 48 VVo = 24 Vf = 100 kHzR = 50 Ω
Lcrit = µH
3.Двигуни постійного струмуСередня
Двигун постійного струму з k = 0,3 V·s/rad працює від 48 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n0 у rpm.
V = 48 Vk = 0,3 V·s/rad
n0 = rpm
4.Двигуни постійного струмуСкладна
Малий двигун постійного струму має опір якоря 1,2 Ω і працює від 24 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність Pmax, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.
V = 24 VRa = 1,2 Ω
Pmax = W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Навантаження з повним опором Z = 4 + j3 Ω під’єднано до однофазної мережі 230 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.
V = 230 VZ = 4 + j3 Ω
Q = var
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 45 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть реактивну потужність QC, яку має постачати конденсатор.
P = 45 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Трифазні системиСередня
Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 100 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,95, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.
VL = 208 VIL = 100 Acos φ = 0,95
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.
P = 50 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Розчини
1.DC-DC перетворювачі
Відповідь: IL = 38,4 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 1 − 24/96 = 0,75
Струм навантаження
Io = 96/10 = 9,6 A
Струм котушки
IL = Io/(1 − D) = 9,6/0,25 = 38,4 A
Відповідь
IL = 38,4 A
2.DC-DC перетворювачі
Відповідь: Lcrit = 125 µH
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 24/48 = 0,5
Умова на межі
Прирівняйте середній струм котушки до половини струму пульсацій і розв’яжіть відносно L.
Lcrit = (1 − D)·R/(2f)
Критична індуктивність
Lcrit = (1 − 0,5)·50/(2100·10³) = 125 µH
Відповідь
Lcrit = 125 µH
3.Двигуни постійного струму
Відповідь: n0 = 1528 rpm
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Швидкість неробочого ходу
ω₀ = V/k = 48/0,3 = 160 rad/s
n0 = 60·160/(2π) = 1528 rpm
Відповідь
n0 = 1528 rpm
4.Двигуни постійного струму
Відповідь: Pmax = 120 W
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Потужність як функція зворотної ЕРС
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V
Максимальна потужність
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 24²/(4·1,2) = 120 W
Відповідь
Pmax = 120 W
У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: Q = 6348 var
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Струм
|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 230/5 = 46 A
Реактивна потужність
Q = I²·X = 46²·3 = 6348 var
Відповідь
Q = 6348 var
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: QC = 37,82 kvar
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(49,46°) = 52,61 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 37,82 kvar
Відповідь
QC = 37,82 kvar
7.Трифазні системи
Відповідь: P = 34,23 kW
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Повна потужність
S = √3·VL·IL = √3·208·100 = 36,03 kVA
Активна потужність
P = S·cos φ = 36,03·0,95 = 34,23 kW
Відповідь
P = 34,23 kW
8.Трифазні системи
Відповідь: Cph = 61,17 µF
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,8) = 50·0,75 = 37,5 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 13,28 kvar
Ємність на фазу
У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.