Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 690 VIL​ = 100 Acos φ = 0,7відстаючий

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 100 A від мережі з лінійною напругою 690 V. Коефіцієнт потужності 0,7, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

VL = 690 VIL = 100 Acos φ = 0,7
P = kW
2.Трифазні системиСкладна
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 200 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.ТрансформаториСередня
11000 V400 VIHV​ = ?ILV​150 kVA

Однофазний трансформатор 150 kVA, 11000/400 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм IHV в обмотці вищої напруги.

S = 150 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
IHV = A
4.ТрансформаториСкладна
pf 0,95100 kVA, 25% навантаження

Однофазний трансформатор 100 kVA має втрати в сталі 500 W і втрати в міді 750 W при номінальному навантаженні. Він віддає 25% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати Ploss у ватах при цьому навантаженні.

S = 100 kVAPcore = 500 WPcu,fl = 750 Wx = 0,25pf = 0,95
Ploss = W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
240 V112 kW, 0,85212 kW, 0,7I

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 12 kW з коефіцієнтом потужності 0,85 (індуктивним) і навантаження 12 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 240 VP1 = 12 kW, pf1 = 0,85 відстаючийP2 = 12 kW, pf2 = 0,7 відстаючий
cos φ =
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 400 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть реактивну потужність QC, яку має постачати конденсатор.

P = 50 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,9V = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 50 HzRL = 5 mHC = ?

Послідовне RLC-коло з L = 5 mH має резонувати на частоті 50 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f0 = 50 HzL = 5 mH
C = µF
8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
120 V200 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 47 µF+−VC​

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення напруги VC на конденсаторі.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 47 µF
VC = V
9.Двигуни постійного струмуСередня
+−VRa​M+−En = 1800 rpmT = ?

Двигун постійного струму віддає 4 kW механічної потужності при 1800 rpm. Знайдіть момент на валу T.

P = 4 kWn = 1800 rpm
T = N·m
10.Двигуни постійного струмуСкладна
+−24 VRa​ = 3 ΩM+−EωT

Малий двигун постійного струму має опір якоря 3 Ω і працює від 24 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність Pmax, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 24 VRa = 3 Ω
Pmax = W

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 83,66 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Повна потужність

S = √3·VL·IL = √3·690·100 = 119,5 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 119,5·0,7 = 83,66 kW

Відповідь

P = 83,66 kW
2.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 1090 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 94,72 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 31573/(377·277,1²) = 1090 µF

Відповідь

Cph = 1090 µF
3.Трансформатори

Відповідь: IHV = 13,64 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

IHV = S/V = 150000/11000 = 13,64 A

Відповідь

IHV = 13,64 A
4.Трансформатори

Відповідь: Ploss = 546,9 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·750 = 46,88 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

Ploss = 500 + 46,88 = 546,9 W

Відповідь

Ploss = 546,9 W

ККД при цьому навантаженні η = 97,75%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,7733

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q1 = 12·tan(arccos 0,85) = 7,437 kvar
Q2 = 12·tan(arccos 0,7) = 12,24 kvar

Сумарні значення

P = 12 + 12 = 24 kW
Q = 7,437 + 12,24 = 19,68 kvar
S = √(24² + 19,68²) = 31,04 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 24/31,04 = 0,7733 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,7733
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: QC = 42,45 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(53,13°) = 66,67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(25,84°) = 24,22 kvar
QC = Q1 − Q2 = 42,45 kvar

Відповідь

QC = 42,45 kvar
7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 2026 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,005) = 2026 µF

Відповідь

C = 2026 µF
8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VC = 40,1 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (8,201)²) = 50,67 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/50,67 = 2,368 A

Напруга на конденсаторі

VC = I·XC = 2,368·16,93 = 40,1 V

Відповідь

VC = 40,1 V
9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T = 21,22 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість у rad/s

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 4000/188,5 = 21,22 N·m

Відповідь

T = 21,22 N·m
10.Двигуни постійного струму

Відповідь: Pmax = 48 W

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

Максимальна потужність

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 24²/(4·3) = 48 W

Відповідь

Pmax = 48 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems