Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 75 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 90%, а коефіцієнт потужності 0,86, відстаючий. Лінійна напруга мережі 480 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 75 kWη = 90%cos φ = 0,86V_L = 480 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 10:1 прикладено 2300 V. До вторинної обмотки підключено резистор 15 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2300 VR_L = 15 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 1200 W і втрати в міді 3000 W при номінальному навантаженні. Він віддає 25% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,85 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 200 kVAP_core = 1200 WP_cu,fl = 3000 Wx = 0,25pf = 0,85

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 36 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 36 kWpf = 0,7V = 230 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 10 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 10 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 2,2 µF має резонувати на частоті 100 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 100 HzC = 2,2 µF

L = mH

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 2 Ω) працює від 240 V. При повному навантаженні він споживає 4 A. Нехтуючи струмом неробочого ходу, знайдіть його регулювання швидкості SR = (n₀ − n_FL)/n_FL у відсотках.

V = 240 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 2 ΩI_FL = 4 A

SR = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Малий двигун постійного струму має опір якоря 1 Ω і працює від 24 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність P_max, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 24 VR_a = 1 Ω

P_max = W

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 116,6 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 75/0,9 = 83,33 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 83333/(√3·480·0,86) = 116,6 A

Відповідь

I_L = 116,6 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 1488 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,65) = 250·1,169 = 292,3 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 241,5 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 80506/(314,2·415²) = 1488 µF

Відповідь

C_ph = 1488 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 1,533 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 2300/10 = 230 V

I₂ = 230/15 = 15,33 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 1,533 A

Відповідь

I₁ = 1,533 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 1500 Ω, і 2300/1500 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 1388 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·3000 = 187,5 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 1200 + 187,5 = 1388 W

Відповідь

P_loss = 1388 W

ККД при цьому навантаженні η = 96,84%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 36,73 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 36·1,02 = 36,73 kvar

Відповідь

Q = 36,73 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 46,3 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(36,87°) = 7,5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(25,84°) = 4,843 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 2,657 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 10000/(240·0,9) = 46,3 A

Відповідь

I_new = 46,3 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 1151 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·2,2·10⁻⁶) = 1151 mH

Відповідь

L = 1151 mH

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,2019 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (118,4)²) = 118,9 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/118,9 = 0,2019 A

Відповідь

I = 0,2019 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: SR = 3,448 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу та при повному навантаженні

n₀ = 60·240/(2π·0,8) = 2865 rpm

n_FL = 60·(240 − 4·2)/(2π·0,8) = 2769 rpm

Регулювання швидкості

SR = (2865 − 2769)/2769·100 = 3,448 %

Відповідь

SR = 3,448 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: P_max = 144 W

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

Максимальна потужність

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·1) = 144 W

Відповідь

P_max = 144 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems