Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 7,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 90%, а коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Лінійна напруга мережі 480 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 7,5 kWη = 90%cos φ = 0,88V_L = 480 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Підсилювач з вихідним опором 400 Ω живить гучномовець 16 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 400 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

R_s = 400 ΩR_L = 16 Ω

a =

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 1000 W і втрати в міді 2000 W при номінальному навантаженні. Він віддає 75% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 200 kVAP_core = 1000 WP_cu,fl = 2000 Wx = 0,75pf = 0,8

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 7 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 7 kWpf = 0,8V = 230 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 75 kVA живить навантаження 49 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 75 kVAP₁ = 49 kWpf₁ = 0,8

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,75 V·s/rad працює від 220 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n₀ у rpm.

V = 220 Vk = 0,75 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження на 220 V (R_a = 0,25 Ω) обертається з 1500 rpm при струмі якоря 40 A. Навантаження змінюється, і струм стає 80 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n₂.

V = 220 VR_a = 0,25 Ωn₁ = 1500 rpmI_a1 = 40 AI_a2 = 80 A

n₂ = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 11,39 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 7,5/0,9 = 8,333 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8333/(√3·480·0,88) = 11,39 A

Відповідь

I_L = 11,39 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 1488 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 96,61 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 32202/(377·239,6²) = 1488 µF

Відповідь

C_ph = 1488 µF

3.Трансформатори

Відповідь: a = 5

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·16 = 400

a = √(400/16) = √25 = 5

Відповідь

a = 5

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 2125 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·2000 = 1125 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 1000 + 1125 = 2125 W

Відповідь

P_loss = 2125 W

ККД при цьому навантаженні η = 98,26%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 5,25 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 7·0,75 = 5,25 kvar

Відповідь

Q = 5,25 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 16,38 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 49·tan(arccos 0,8) = 36,75 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(75² − 36,75²) = 65,38 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 65,38 − 49 = 16,38 kW

Відповідь

ΔP = 16,38 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,711 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−138,4)²) = 140,6 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/140,6 = 0,711 A

Відповідь

I = 0,711 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,1333 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−161,2)²) = 180 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/180 = 0,1333 A

Відповідь

I = 0,1333 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₀ = 2801 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 220/0,75 = 293,3 rad/s

n₀ = 60·293,3/(2π) = 2801 rpm

Відповідь

n₀ = 2801 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₂ = 1429 rpm

Зворотна ЕРС до і після

E₁ = 220 − 40·0,25 = 210 V

E₂ = 220 − 80·0,25 = 200 V

Нова швидкість

n₂ = 1500·200/210 = 1429 rpm

Відповідь

n₂ = 1429 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems