Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 7,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 93%, а коефіцієнт потужності 0,84, відстаючий. Лінійна напруга мережі 415 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 7,5 kWη = 93%cos φ = 0,84V_L = 415 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 200 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 10:1 прикладено 1200 V. До вторинної обмотки підключено резистор 15 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 1200 VR_L = 15 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 25 kVA має втрати в сталі 150 W і втрати в міді 225 W при номінальному навантаженні. Він віддає 25% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 25 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 225 Wx = 0,25pf = 0,8

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 2 kW при коефіцієнті потужності 0,85 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 2 kWpf = 0,85V = 400 V

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 15 kVA живить навантаження 7 kW з коефіцієнтом потужності 0,85 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 15 kVAP₁ = 7 kWpf₁ = 0,85

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩC = 47 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,2 N·m/A і R_a = 0,4 Ω під’єднано до 48 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 48 Vk = 0,2 N·m/AR_a = 0,4 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження на 110 V (R_a = 2 Ω) обертається з 1000 rpm при струмі якоря 5 A. Навантаження змінюється, і струм стає 3 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n₂.

V = 110 VR_a = 2 Ωn₁ = 1000 rpmI_a1 = 5 AI_a2 = 3 A

n₂ = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 13,36 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 7,5/0,93 = 8,065 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8065/(√3·415·0,84) = 13,36 A

Відповідь

I_L = 13,36 A

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 118,8 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 118,8 kvar

Відповідь

Q_C = 118,8 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 0,8 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 1200/10 = 120 V

I₂ = 120/15 = 8 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 0,8 A

Відповідь

I₁ = 0,8 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 1500 Ω, і 1200/1500 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 164,1 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·225 = 14,06 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 150 + 14,06 = 164,1 W

Відповідь

P_loss = 164,1 W

ККД при цьому навантаженні η = 96,82%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 5,882 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 2000/(400·0,85) = 5,882 A

Відповідь

I = 5,882 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 7,359 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 7·tan(arccos 0,85) = 4,338 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(15² − 4,338²) = 14,36 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 14,36 − 7 = 7,359 kW

Відповідь

ΔP = 7,359 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 10,69 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 120/15 = 8 A

I_X = V/X_C = 120/16,93 = 7,087 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(8² + 7,087²) = 10,69 A

Відповідь

I = 10,69 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 41,09 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·100·10⁻⁶)) = 41,09 Hz

Відповідь

f₀ = 41,09 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 24 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 48/0,4 = 120 A

Стопорний момент

T_stall = 0,2·120 = 24 N·m

Відповідь

T_stall = 24 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₂ = 1040 rpm

Зворотна ЕРС до і після

E₁ = 110 − 5·2 = 100 V

E₂ = 110 − 3·2 = 104 V

Нова швидкість

n₂ = 1000·104/100 = 1040 rpm

Відповідь

n₂ = 1040 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems