Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 80 A від мережі з лінійною напругою 480 V. Коефіцієнт потужності 0,95, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 480 VI_L = 80 Acos φ = 0,95

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 150 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 150 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 10:1 прикладено 2300 V. До вторинної обмотки підключено резистор 30 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2300 VR_L = 30 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 2000 W і втрати в міді 5000 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 500 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 5000 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 22 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 22 kWpf = 0,75V = 400 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 20 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 400 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 20 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,9V = 400 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 5 mH має резонувати на частоті 100 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 100 HzL = 5 mH

C = µF

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 12 A від джерела 110 V. Його опір якоря — 1 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 59 W. Знайдіть його ККД η.

V = 110 VI_a = 12 AR_a = 1 ΩP_rot = 59 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму на 120 V має опір якоря 0,2 Ω. Знайдіть послідовний пусковий опір R_st, який обмежує пусковий струм до 25 A.

V = 120 VR_a = 0,2 ΩI_max = 25 A

R_st = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 63,19 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·480·80 = 66,51 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 66,51·0,95 = 63,19 kW

Відповідь

P = 63,19 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 82,04 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,8) = 150·0,75 = 112,5 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,98) = 150·0,2031 = 30,46 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 82,04 kvar

Відповідь

Q_C = 82,04 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 0,7667 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 2300/10 = 230 V

I₂ = 230/30 = 7,667 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 0,7667 A

Відповідь

I₁ = 0,7667 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 3000 Ω, і 2300/3000 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 316,2 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·5000 = 2000 → x = √(2000/5000) = 0,6325

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,6325·500 = 316,2 kVA

Відповідь

S_η,max = 316,2 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 19,4 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 22·0,8819 = 19,4 kvar

Відповідь

Q = 19,4 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 55,56 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(53,13°) = 26,67 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(25,84°) = 9,686 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16,98 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 20000/(400·0,9) = 55,56 A

Відповідь

I_new = 55,56 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 506,6 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628,3²·0,005) = 506,6 µF

Відповідь

C = 506,6 µF

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 19,04 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,15 = 942,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (870,1)²) = 873,8 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/873,8 = 0,2632 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,2632·72,34 = 19,04 V

Відповідь

V_C = 19,04 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 84,62 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 110·12 = 1320 W

P_dev = 98·12 = 1176 W

P_out = 1176 − 59 = 1117 W

ККД

η = 1117/1320·100 = 84,62 %

Відповідь

η = 84,62 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_st = 4,6 Ω

Повний опір

R_a + R_st = 120/25 = 4,8 Ω

Пусковий резистор

R_st = 4,8 − 0,2 = 4,6 Ω

Відповідь

R_st = 4,6 Ω

Резистор виводять покроково, у міру того як двигун розганяється, а зворотна ЕРС зростає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems