Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 100 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 400 VI_L = 100 Acos φ = 0,82

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Підсилювач з вихідним опором 10800 Ω живить гучномовець 75 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 10800 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

R_s = 10800 ΩR_L = 75 Ω

a =

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 75 kVA має втрати в сталі 600 W і втрати в міді 2400 W при номінальному навантаженні. Він віддає 25% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,85 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 75 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 2400 Wx = 0,25pf = 0,85

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 14 A і 840 W від однофазної мережі 120 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть R.

V = 120 VI = 14 AP = 840 W

R = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 150 kVA живить навантаження 45 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 150 kVAP₁ = 45 kWpf₁ = 0,7

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 100 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,75 N·m/A і R_a = 0,8 Ω під’єднано до 48 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 48 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 0,8 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,75 V·s/rad, R_a = 2 Ω) на сталій напрузі 48 V приводить навантаження 1,5 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 400 rpm.

V = 48 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 2 ΩT = 1,5 N·mn = 400 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 56,81 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·400·100 = 69,28 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 69,28·0,82 = 56,81 kW

Відповідь

P = 56,81 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 636 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,72) = 200·0,9639 = 192,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 95,91 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 31969/(314,2·400²) = 636 µF

Відповідь

C_ph = 636 µF

3.Трансформатори

Відповідь: a = 12

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·75 = 10800

a = √(10800/75) = √144 = 12

Відповідь

a = 12

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 750 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·2400 = 150 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 600 + 150 = 750 W

Відповідь

P_loss = 750 W

ККД при цьому навантаженні η = 95,51%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: R = 4,286 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 840/14² = 4,286 Ω

Відповідь

R = 4,286 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 97,8 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 45·tan(arccos 0,7) = 45,91 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 45,91²) = 142,8 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 142,8 − 45 = 97,8 kW

Відповідь

ΔP = 97,8 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 82,56 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (306,2)²) = 308,8 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(306,2/40) = 82,56°

Відповідь

φ = 82,56°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 28,22 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−18,74)²) = 24 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/24 = 0,4999 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,4999·56,44 = 28,22 V

Відповідь

V_C = 28,22 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 45 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 48/0,8 = 60 A

Стопорний момент

T_stall = 0,75·60 = 45 N·m

Відповідь

T_stall = 45 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 6,292 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 1,5/0,75 = 2 A

E = 0,75·41,89 = 31,42 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (48 − 31,42)/2 = 8,292 Ω

R_s = 6,292 Ω

Відповідь

R_s = 6,292 Ω

Резистор розсіює 25,17 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems