Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 18 + j24 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 480 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 480 VZ = 18 + j24 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 500 kVA, 2400/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 500 kVAV₁ = 2400 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 100 kVA має втрати в сталі 600 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) його ККД становить 97%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 100 kVAP_core = 600 Wpf = 0,8η = 97%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 2 kW при коефіцієнті потужності 0,9 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 2 kWpf = 0,9V = 400 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 20 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 20 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V = 230 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 100 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 150 mH

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 12 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 12 V (rms)R = 20 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF

V_L = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,2 N·m/A, R_a = 0,25 Ω) працює від 48 V і приводить навантаження з моментом 1,6 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 48 Vk = 0,2 N·m/AR_a = 0,25 ΩT = 1,6 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) на сталій напрузі 220 V приводить навантаження 32 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 500 rpm.

V = 220 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 32 N·mn = 500 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 4,608 kW

Фазна напруга

V_ph = 480/√3 = 277,1 V

Фазний струм

|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω

I_ph = 277,1/30 = 9,238 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·18 = 4,608 kW

Відповідь

P = 4,608 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 33,71 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,95) = 80·0,3287 = 26,29 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,71 kvar

Відповідь

Q_C = 33,71 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 2083 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 500000/240 = 2083 A

Відповідь

I_LV = 2083 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 1874 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 100·0,8 = 80 kW

P_in = 80000/0,97 = 82474 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 82474 − 80000 = 2474 W

P_cu,fl = 2474 − 600 = 1874 W

Відповідь

P_cu,fl = 1874 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 0,9686 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 2·0,4843 = 0,9686 kvar

Відповідь

Q = 0,9686 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 665,8 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(41,41°) = 17,64 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(18,19°) = 6,574 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 11,06 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 11065/(2π·50·230²) = 665,8 µF

Відповідь

C = 665,8 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 4,138 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·100·0,15 = 94,25 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 100/25 = 4 A

I_X = V/X_L = 100/94,25 = 1,061 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(4² + 1,061²) = 4,138 A

Відповідь

I = 4,138 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 87,52 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,47·10⁻⁶) = 14586 rad/s

I = V/R = 12/20 = 0,6 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 14586·0,01 = 145,9 Ω

V_L = I·X_L = 0,6·145,9 = 87,52 V

Відповідь

V_L = 87,52 V

Це в Q = 7,293 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 2196 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 1,6/0,2 = 8 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 48 − 8·0,25 = 46 V

ω = E/k = 230 rad/s → n = 2196 rpm

Відповідь

n = 2196 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 4,053 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 32/0,8 = 40 A

E = 0,8·52,36 = 41,89 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (220 − 41,89)/40 = 4,453 Ω

R_s = 4,053 Ω

Відповідь

R_s = 4,053 Ω

Резистор розсіює 6484 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems