Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 22 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 88%, а коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 22 kWη = 88%cos φ = 0,82V_L = 400 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 75 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Підсилювач з вихідним опором 32 Ω живить гучномовець 8 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 32 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

R_s = 32 ΩR_L = 8 Ω

a =

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 75 kVA має втрати в сталі 600 W і втрати в міді 900 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 75 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 900 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Навантаження з повним опором Z = 7 + j24 Ω під’єднано до однофазної мережі 230 V (діюче значення). Знайдіть активну потужність P, яку воно споживає.

V = 230 VZ = 7 + j24 Ω

P = W

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 100 kVA живить навантаження 56 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 100 kVAP₁ = 56 kWpf₁ = 0,8

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 1 V·s/rad працює від 240 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n₀ у rpm.

V = 240 Vk = 1 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,75 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) від шини постійного струму 240 V. Середня напруга якоря дорівнює D·240 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 300 rpm з навантаженням 4,5 N·m.

V_dc = 240 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 4,5 N·mn = 300 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 44,01 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 22/0,88 = 25 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 25000/(√3·400·0,82) = 44,01 A

Відповідь

I_L = 44,01 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 164,8 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,75) = 75·0,8819 = 66,14 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29,82 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9940/(377·400²) = 164,8 µF

Відповідь

C_ph = 164,8 µF

3.Трансформатори

Відповідь: a = 2

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·8 = 32

a = √(32/8) = √4 = 2

Відповідь

a = 2

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 61,24 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·900 = 600 → x = √(600/900) = 0,8165

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,8165·75 = 61,24 kVA

Відповідь

S_η,max = 61,24 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P = 592,5 W

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 230/25 = 9,2 A

Активна потужність

P = I²·R = 9,2²·7 = 592,5 W

Відповідь

P = 592,5 W

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 34,75 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 56·tan(arccos 0,8) = 42 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 42²) = 90,75 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 90,75 − 56 = 34,75 kW

Відповідь

ΔP = 34,75 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,1011 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−236,1)²) = 237,4 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/237,4 = 0,1011 A

Відповідь

I = 0,1011 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 519,1 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·4,7·10⁻⁶)) = 519,1 Hz

Відповідь

f₀ = 519,1 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₀ = 2292 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 240/1 = 240 rad/s

n₀ = 60·240/(2π) = 2292 rpm

Відповідь

n₀ = 2292 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 11,82 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,75·31,42 + 6·0,8 = 28,36 V

Коефіцієнт заповнення

D = 28,36/240 = 11,82 %

Відповідь

D = 11,82 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems