Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VNZ = 12 + j16 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 12 + j16 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

VL = 400 VZ = 12 + j16 Ω на фазу
P = kW
2.Трифазні системиСкладна
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 200 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.ТрансформаториСередня
50 Ω51

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 5:1 підключено резистор 50 Ω. Знайдіть опір R1′ з боку первинної обмотки.

N1:N2 = 5:1RL = 50 Ω
R1′ = Ω
4.ТрансформаториСкладна
150 kVA

Однофазний трансформатор 150 kVA має втрати в сталі 750 W і втрати в міді 2250 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні Sη,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 150 kVAPcore = 750 WPcu,fl = 2250 W
Sη,max = kVA
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
120 VR + jXP = 1080 W18 A

Індуктивне навантаження споживає 18 A і 1080 W від однофазної мережі 120 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 120 VI = 18 AP = 1080 W
X = Ω
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P = 25 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазне навантаження споживає 25 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть реактивну потужність QC, яку має постачати конденсатор.

P = 25 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 5000 HzRL = ?C = 0,47 µF

Послідовне RLC-коло з C = 0,47 µF має резонувати на частоті 5000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f0 = 5000 HzC = 0,47 µF
L = mH
8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
VfR = 15 ΩL = 1 mHC = 0,01 µF

Послідовне RLC-коло має R = 15 Ω, L = 1 mH і C = 0,01 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 15 ΩL = 1 mHC = 0,01 µF
B = Hz
9.Двигуни постійного струмуСередня
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Двигун постійного струму з k = 1 V·s/rad працює від 220 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n0 у rpm.

V = 220 Vk = 1 V·s/rad
n0 = rpm
10.Двигуни постійного струмуСкладна
+−110 VRst​ = ?Ra​ = 1 Ω100 AM+−E = 0n = 0T

Двигун постійного струму на 110 V має опір якоря 1 Ω. Знайдіть послідовний пусковий опір Rst, який обмежує пусковий струм до 100 A.

V = 110 VRa = 1 ΩImax = 100 A
Rst = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 4,8 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазна напруга

Vph = 400/√3 = 230,9 V

Фазний струм

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
Iph = 230,9/20 = 11,55 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·Iph²·R = 3·11,55²·12 = 4,8 kW

Відповідь

P = 4,8 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: QC = 119,8 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,98) = 200·0,2031 = 40,61 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 119,8 kvar

Відповідь

QC = 119,8 kvar
3.Трансформатори

Відповідь: R1′ = 1250 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R1′ = a²·RL = 5²·50 = 1250 Ω

Відповідь

R1′ = 1250 Ω
4.Трансформатори

Відповідь: Sη,max = 86,6 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·2250 = 750 → x = √(750/2250) = 0,5774

Навантаження при максимальному ККД

Sη,max = x·S = 0,5774·150 = 86,6 kVA

Відповідь

Sη,max = 86,6 kVA
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 5,774 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 1080/18² = 3,333 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 120/18 = 6,667 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(6,667² − 3,333²) = 5,774 Ω

Відповідь

X = 5,774 Ω
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: QC = 18,58 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(49,46°) = 29,23 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(23,07°) = 10,65 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18,58 kvar

Відповідь

QC = 18,58 kvar
7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 2,156 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·0,47·10⁻⁶) = 2,156 mH

Відповідь

L = 2,156 mH
8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 2387 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонансна частота

f0 = 1/(2π·√(0,001·0,01·10⁻⁶)) = 50329 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,001/(0,01·10⁻⁶)) = 21,08

Смуга пропускання

B = f0/Q = 50329/21,08 = 2387 Hz

Відповідь

B = 2387 Hz
9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n0 = 2101 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 220/1 = 220 rad/s
n0 = 60·220/(2π) = 2101 rpm

Відповідь

n0 = 2101 rpm
10.Двигуни постійного струму

Відповідь: Rst = 0,1 Ω

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Повний опір

Ra + Rst = 110/100 = 1,1 Ω

Пусковий резистор

Rst = 1,1 − 1 = 0,1 Ω

Відповідь

Rst = 0,1 Ω

Резистор виводять покроково, у міру того як двигун розганяється, а зворотна ЕРС зростає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems