Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 12 + j9 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 415 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 415 VZ = 12 + j9 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 50 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 15 kVA, 7200/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 15 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 100 kVA має втрати в сталі 400 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) його ККД становить 99%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 100 kVAP_core = 400 Wpf = 0,8η = 99%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Навантаження з повним опором Z = 12 + j5 Ω під’єднано до однофазної мережі 230 V (діюче значення). Знайдіть повну потужність S.

V = 230 VZ = 12 + j5 Ω

S = VA

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 17 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним) від мережі 230 V, 60 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 150 µF. Знайдіть новий струм лінії I.

P = 17 kWpf₁ = 0,8V = 230 Vf = 60 HzC = 150 µF

I = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 100 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,6 V·s/rad, R_a = 0,25 Ω) працює від 120 V. При повному навантаженні він споживає 25 A. Нехтуючи струмом неробочого ходу, знайдіть його регулювання швидкості SR = (n₀ − n_FL)/n_FL у відсотках.

V = 120 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 0,25 ΩI_FL = 25 A

SR = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,2 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) на сталій напрузі 48 V приводить навантаження 1,6 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 600 rpm.

V = 48 Vk = 0,2 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 1,6 N·mn = 600 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 9,185 kW

Фазна напруга

V_ph = 415/√3 = 239,6 V

Фазний струм

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω

I_ph = 239,6/15 = 15,97 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·15,97²·12 = 9,185 kW

Відповідь

P = 9,185 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 31,76 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,72) = 50·0,9639 = 48,19 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,76 kvar

Відповідь

Q_C = 31,76 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 62,5 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 15000/240 = 62,5 A

Відповідь

I_LV = 62,5 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 408,1 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 100·0,8 = 80 kW

P_in = 80000/0,99 = 80808 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 80808 − 80000 = 808,1 W

P_cu,fl = 808,1 − 400 = 408,1 W

Відповідь

P_cu,fl = 408,1 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: S = 4069 VA

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω

I = V/|Z| = 230/13 = 17,69 A

Повна потужність

S = V·I = 230·17,69 = 4069 VA

Відповідь

S = 4069 VA

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 85,23 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 17·tan(arccos 0,8) = 12,75 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·150·10⁻⁶ = 2991 var = 2,991 kvar

Q₂ = 12,75 − 2,991 = 9,759 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(17² + 9,759²) = 19,6 kVA

Новий струм лінії

I = S₂/V = 19602/230 = 85,23 A

Відповідь

I = 85,23 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 63,45 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (30,02)²) = 33,56 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(30,02/15) = 63,45°

Відповідь

φ = 63,45°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,1717 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−286,9)²) = 291,2 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/291,2 = 0,1717 A

Відповідь

I = 0,1717 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: SR = 5,495 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу та при повному навантаженні

n₀ = 60·120/(2π·0,6) = 1910 rpm

n_FL = 60·(120 − 25·0,25)/(2π·0,6) = 1810 rpm

Регулювання швидкості

SR = (1910 − 1810)/1810·100 = 5,495 %

Відповідь

SR = 5,495 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 4,029 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 1,6/0,2 = 8 A

E = 0,2·62,83 = 12,57 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (48 − 12,57)/8 = 4,429 Ω

R_s = 4,029 Ω

Відповідь

R_s = 4,029 Ω

Резистор розсіює 257,9 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems