Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 7,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 88%, а коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Лінійна напруга мережі 415 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 7,5 kWη = 88%cos φ = 0,88V_L = 415 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Підсилювач з вихідним опором 200 Ω живить гучномовець 8 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 200 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

R_s = 200 ΩR_L = 8 Ω

a =

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 50 kVA має втрати в сталі 200 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому) його ККД становить 99%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 50 kVAP_core = 200 Wpf = 0,9η = 99%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 1 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 1 kWpf = 0,7V = 240 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 200 kVA живить навантаження 101 kW з коефіцієнтом потужності 0,85 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 101 kWpf₁ = 0,85

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 47 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 10 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,75 N·m/A і R_a = 1,5 Ω під’єднано до 120 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 120 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 1,5 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження на 120 V (R_a = 1,5 Ω) обертається з 1800 rpm при струмі якоря 8 A. Навантаження змінюється, і струм стає 2 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n₂.

V = 120 VR_a = 1,5 Ωn₁ = 1800 rpmI_a1 = 8 AI_a2 = 2 A

n₂ = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 13,47 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 7,5/0,88 = 8,523 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8523/(√3·415·0,88) = 13,47 A

Відповідь

I_L = 13,47 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 89,71 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 48,3 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 16101/(377·690²) = 89,71 µF

Відповідь

C_ph = 89,71 µF

3.Трансформатори

Відповідь: a = 5

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·8 = 200

a = √(200/8) = √25 = 5

Відповідь

a = 5

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 254,5 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 50·0,9 = 45 kW

P_in = 45000/0,99 = 45455 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 45455 − 45000 = 454,5 W

P_cu,fl = 454,5 − 200 = 254,5 W

Відповідь

P_cu,fl = 254,5 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 1,02 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 1·1,02 = 1,02 kvar

Відповідь

Q = 1,02 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 88,95 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 101·tan(arccos 0,85) = 62,59 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 62,59²) = 190 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 190 − 101 = 88,95 kW

Відповідь

ΔP = 88,95 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 56,81 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3,386 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (122,3)²) = 146,1 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(122,3/80) = 56,81°

Відповідь

φ = 56,81°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 1,444 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (109,7)²) = 110,2 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/110,2 = 0,09074 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,09074·15,92 = 1,444 V

Відповідь

V_C = 1,444 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 60 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 120/1,5 = 80 A

Стопорний момент

T_stall = 0,75·80 = 60 N·m

Відповідь

T_stall = 60 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₂ = 1950 rpm

Зворотна ЕРС до і після

E₁ = 120 − 8·1,5 = 108 V

E₂ = 120 − 2·1,5 = 117 V

Нова швидкість

n₂ = 1800·117/108 = 1950 rpm

Відповідь

n₂ = 1950 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems