Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 150 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,85, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 208 VI_L = 150 Acos φ = 0,85

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 2:1 прикладено 460 V. До вторинної обмотки підключено резистор 10 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 460 VR_L = 10 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 2000 W і втрати в міді 6000 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 250 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 6000 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 9 kW при коефіцієнті потужності 0,9 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 9 kWpf = 0,9V = 240 V

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 15 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 230 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсатор.

P = 15 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V = 230 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 10 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 40 A від джерела 120 V. Його опір якоря — 0,4 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 250 W. Знайдіть його ККД η.

V = 120 VI_a = 40 AR_a = 0,4 ΩP_rot = 250 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму з k = 1 V·s/rad і R_a = 0,8 Ω має приводити навантаження 10 N·m при 900 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 1 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 10 N·mn = 900 rpm

V = V

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 45,93 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·208·150 = 54,04 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 54,04·0,85 = 45,93 kW

Відповідь

P = 45,93 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 179,8 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 32,27 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 10757/(377·398,4²) = 179,8 µF

Відповідь

C_ph = 179,8 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 11,5 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 460/2 = 230 V

I₂ = 230/10 = 23 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 11,5 A

Відповідь

I₁ = 11,5 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 40 Ω, і 460/40 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 144,3 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·6000 = 2000 → x = √(2000/6000) = 0,5774

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5774·250 = 144,3 kVA

Відповідь

S_η,max = 144,3 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 41,67 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 9000/(240·0,9) = 41,67 A

Відповідь

I = 41,67 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q_C = 11,15 kvar

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(49,46°) = 17,54 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(23,07°) = 6,39 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 11,15 kvar

Відповідь

Q_C = 11,15 kvar

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −75,45 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−96,32)²) = 99,51 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−96,32/25) = −75,45°

Відповідь

φ = −75,45°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,2757 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (84,74)²) = 87,06 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/87,06 = 0,2757 A

Відповідь

I = 0,2757 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 81,46 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 120·40 = 4800 W

P_dev = 104·40 = 4160 W

P_out = 4160 − 250 = 3910 W

ККД

η = 3910/4800·100 = 81,46 %

Відповідь

η = 81,46 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 102,2 V

Зворотна ЕРС

E = 1·94,25 = 94,25 V

Струм якоря

I_a = 10/1 = 10 A

Напруга якоря

V = 94,25 + 10·0,8 = 102,2 V

Відповідь

V = 102,2 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems