Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 50 A від мережі з лінійною напругою 480 V. Коефіцієнт потужності 0,9, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 480 VI_L = 50 Acos φ = 0,9

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 75 kVA, 4800/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_HV в обмотці вищої напруги.

S = 75 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 150 kVA має втрати в сталі 600 W і втрати в міді 1200 W при номінальному навантаженні. Він віддає 50% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,85 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 150 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 1200 Wx = 0,5pf = 0,85

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 18 A і 2160 W від однофазної мережі 240 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 240 VI = 18 AP = 2160 W

X = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 35 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 35 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 100 mH має резонувати на частоті 50 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 50 HzL = 100 mH

C = µF

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,75 N·m/A і R_a = 1,2 Ω під’єднано до 48 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 48 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 1,2 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 1,5 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) від шини постійного струму 220 V. Середня напруга якоря дорівнює D·220 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 800 rpm з навантаженням 22,5 N·m.

V_dc = 220 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 22,5 N·mn = 800 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 37,41 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·480·50 = 41,57 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 41,57·0,9 = 37,41 kW

Відповідь

P = 37,41 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 145,9 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,78) = 60·0,8023 = 48,14 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 28,42 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9472/(377·415²) = 145,9 µF

Відповідь

C_ph = 145,9 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_HV = 15,63 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_HV = S/V = 75000/4800 = 15,63 A

Відповідь

I_HV = 15,63 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 900 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·1200 = 300 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 600 + 300 = 900 W

Відповідь

P_loss = 900 W

ККД при цьому навантаженні η = 98,61%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 11,55 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 2160/18² = 6,667 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 240/18 = 13,33 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(13,33² − 6,667²) = 11,55 Ω

Відповідь

X = 11,55 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 640,8 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(41,41°) = 30,87 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(25,84°) = 16,95 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13,92 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 13916/(2π·60·240²) = 640,8 µF

Відповідь

C = 640,8 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 101,3 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,1) = 101,3 µF

Відповідь

C = 101,3 µF

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,2778 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−161,2)²) = 180 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/180 = 0,2778 A

Відповідь

I = 0,2778 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 30 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 48/1,2 = 40 A

Стопорний момент

T_stall = 0,75·40 = 30 N·m

Відповідь

T_stall = 30 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 60,53 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 1,5·83,78 + 15·0,5 = 133,2 V

Коефіцієнт заповнення

D = 133,2/220 = 60,53 %

Відповідь

D = 60,53 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems