Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 60 A від мережі з лінійною напругою 415 V. Коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 415 VI_L = 60 Acos φ = 0,88

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 60 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 2:1 прикладено 460 V. До вторинної обмотки підключено резистор 10 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 460 VR_L = 10 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 50 kVA має втрати в сталі 250 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому) його ККД становить 97%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 50 kVAP_core = 250 Wpf = 0,9η = 97%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Навантаження з повним опором Z = 8 + j6 Ω під’єднано до однофазної мережі 230 V (діюче значення). Знайдіть повну потужність S.

V = 230 VZ = 8 + j6 Ω

S = VA

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 100 V (діюче значення), 60 Hz має внутрішній опір Z_s = 10 + j6 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність P_max, яку можна передати навантаженню.

V_s = 100 V (rms)f = 60 HzZ_s = 10 + j6 Ω

P_max = W

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 47 µF

P = W

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 10 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 10 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

V_L = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,1 N·m/A, R_a = 0,5 Ω) працює від 24 V і приводить навантаження з моментом 0,6 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 24 Vk = 0,1 N·m/AR_a = 0,5 ΩT = 0,6 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 0,25 Ω) на сталій напрузі 110 V приводить навантаження 24 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 1000 rpm.

V = 110 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 24 N·mn = 1000 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 37,95 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·415·60 = 43,13 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 43,13·0,88 = 37,95 kW

Відповідь

P = 37,95 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 15,94 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,8) = 60·0,75 = 45 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 15,94 kvar

Відповідь

Q_C = 15,94 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 11,5 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 460/2 = 230 V

I₂ = 230/10 = 23 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 11,5 A

Відповідь

I₁ = 11,5 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 40 Ω, і 460/40 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 1142 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 50·0,9 = 45 kW

P_in = 45000/0,97 = 46392 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 46392 − 45000 = 1392 W

P_cu,fl = 1392 − 250 = 1142 W

Відповідь

P_cu,fl = 1142 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: S = 5290 VA

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I = V/|Z| = 230/10 = 23 A

Повна потужність

S = V·I = 230·23 = 5290 VA

Відповідь

S = 5290 VA

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P_max = 250 W

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 10 − j6 Ω

Максимальна потужність

I = V_s/(2R_s) = 100/20 = 5 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 100²/(4·10) = 250 W

Відповідь

P_max = 250 W

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 20,65 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 62,83 Ω, X_C = 16,93 Ω

Повний опір

|Z| = √(100² + (45,9)²) = 110 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 50/110 = 0,4544 A

P = I²·R = 0,4544²·100 = 20,65 W

Відповідь

P = 20,65 W

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 150,8 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,22·10⁻⁶) = 15076 rad/s

I = V/R = 10/20 = 0,5 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 15076·0,02 = 301,5 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·301,5 = 150,8 V

Відповідь

V_L = 150,8 V

Це в Q = 15,08 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 2005 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 0,6/0,1 = 6 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 24 − 6·0,5 = 21 V

ω = E/k = 210 rad/s → n = 2005 rpm

Відповідь

n = 2005 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 0,6241 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 24/0,8 = 30 A

E = 0,8·104,7 = 83,78 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (110 − 83,78)/30 = 0,8741 Ω

R_s = 0,6241 Ω

Відповідь

R_s = 0,6241 Ω

Резистор розсіює 561,7 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems