Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 110 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 91%, а коефіцієнт потужності 0,85, відстаючий. Лінійна напруга мережі 480 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 110 kWη = 91%cos φ = 0,85V_L = 480 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 100 kVA, 2400/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 100 kVAV₁ = 2400 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 25 kVA має втрати в сталі 150 W і втрати в міді 600 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 25 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 600 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Навантаження з повним опором Z = 5 + j12 Ω під’єднано до однофазної мережі 240 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.

V = 240 VZ = 5 + j12 Ω

Q = var

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 200 kVA живить навантаження 109 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 109 kWpf₁ = 0,75

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 22 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму віддає 1 kW механічної потужності при 2900 rpm. Знайдіть момент на валу T.

P = 1 kWn = 2900 rpm

T = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 1,2 V·s/rad, R_a = 0,25 Ω) від шини постійного струму 110 V. Середня напруга якоря дорівнює D·110 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 400 rpm з навантаженням 24 N·m.

V_dc = 110 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 24 N·mn = 400 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 171,1 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 110/0,91 = 120,9 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 120879/(√3·480·0,85) = 171,1 A

Відповідь

I_L = 171,1 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 207,6 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,95) = 80·0,3287 = 26,29 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,71 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11235/(314,2·415²) = 207,6 µF

Відповідь

C_ph = 207,6 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 416,7 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 100000/240 = 416,7 A

Відповідь

I_LV = 416,7 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 12,5 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·600 = 150 → x = √(150/600) = 0,5

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5·25 = 12,5 kVA

Відповідь

S_η,max = 12,5 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 4090 var

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I = V/|Z| = 240/13 = 18,46 A

Реактивна потужність

Q = I²·X = 18,46²·12 = 4090 var

Відповідь

Q = 4090 var

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 66,38 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 109·tan(arccos 0,75) = 96,13 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 96,13²) = 175,4 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 175,4 − 109 = 66,38 kW

Відповідь

ΔP = 66,38 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 51,69 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 230/80 = 2,875 A

I_X = V/X_C = 230/67,73 = 3,396 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,875² + 3,396²) = 4,45 A

Повний опір

|Z| = V/I = 230/4,45 = 51,69 Ω

Відповідь

|Z| = 51,69 Ω

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 87,17 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−11,04)²) = 41,5 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/41,5 = 2,41 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 2,41·36,17 = 87,17 V

Відповідь

V_C = 87,17 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T = 3,293 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість у rad/s

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 1000/303,7 = 3,293 N·m

Відповідь

T = 3,293 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 50,24 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 1,2·41,89 + 20·0,25 = 55,27 V

Коефіцієнт заповнення

D = 55,27/110 = 50,24 %

Відповідь

D = 50,24 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems