Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 60 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,7, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 208 VI_L = 60 Acos φ = 0,7

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 60 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 15 kVA, 4160/480 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_HV в обмотці вищої напруги.

S = 15 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_HV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 1500 W і втрати в міді 2250 W при номінальному навантаженні. Він віддає 50% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 250 kVAP_core = 1500 WP_cu,fl = 2250 Wx = 0,5pf = 0,8

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 36 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 36 kWpf = 0,8V = 400 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 15 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсатор.

P = 15 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 47 µF

P = W

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму віддає 11 kW механічної потужності при 1200 rpm. Знайдіть момент на валу T.

P = 11 kWn = 1200 rpm

T = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження на 240 V (R_a = 1,2 Ω) обертається з 1440 rpm при струмі якоря 15 A. Навантаження змінюється, і струм стає 7,5 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n₂.

V = 240 VR_a = 1,2 Ωn₁ = 1440 rpmI_a1 = 15 AI_a2 = 7,5 A

n₂ = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 15,13 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·208·60 = 21,62 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 21,62·0,7 = 15,13 kW

Відповідь

P = 15,13 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 57,96 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,98) = 60·0,2031 = 12,18 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 57,96 kvar

Відповідь

Q_C = 57,96 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I_HV = 3,606 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_HV = S/V = 15000/4160 = 3,606 A

Відповідь

I_HV = 3,606 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 2063 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·2250 = 562,5 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 1500 + 562,5 = 2063 W

Відповідь

P_loss = 2063 W

ККД при цьому навантаженні η = 97,98%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 27 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 36·0,75 = 27 kvar

Відповідь

Q = 27 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q_C = 12,61 kvar

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(49,46°) = 17,54 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(18,19°) = 4,93 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 12,61 kvar

Відповідь

Q_C = 12,61 kvar

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 1,108 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 471,2 Ω, X_C = 6,773 Ω

Повний опір

|Z| = √(100² + (464,5)²) = 475,1 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 50/475,1 = 0,1052 A

P = I²·R = 0,1052²·100 = 1,108 W

Відповідь

P = 1,108 W

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,09396 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (125,2)²) = 127,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/127,7 = 0,09396 A

Відповідь

I = 0,09396 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T = 87,54 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість у rad/s

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 11000/125,7 = 87,54 N·m

Відповідь

T = 87,54 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₂ = 1498 rpm

Зворотна ЕРС до і після

E₁ = 240 − 15·1,2 = 222 V

E₂ = 240 − 7,5·1,2 = 231 V

Нова швидкість

n₂ = 1440·231/222 = 1498 rpm

Відповідь

n₂ = 1498 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems