Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 7 + j24 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 400 VZ = 7 + j24 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 15 kVA, 6600/230 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_HV в обмотці вищої напруги.

S = 15 kVAV₁ = 6600 VV₂ = 230 V

I_HV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 2000 W і втрати в міді 8000 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 500 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 8000 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 230 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 16 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним) і навантаження 22 kW з коефіцієнтом потужності 0,95 (ємнісним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 230 VP₁ = 16 kW, pf₁ = 0,8 відстаючийP₂ = 22 kW, pf₂ = 0,95 ємнісний

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 25 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 25 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 2 mH має резонувати на частоті 200 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 200 HzL = 2 mH

C = µF

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 50 Ω, L = 5 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 50 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

Q =

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 25 A від джерела 120 V. Його опір якоря — 0,2 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 173 W. Знайдіть його ККД η.

V = 120 VI_a = 25 AR_a = 0,2 ΩP_rot = 173 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму з k = 0,6 V·s/rad і R_a = 0,5 Ω має приводити навантаження 18 N·m при 600 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 0,6 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 18 N·mn = 600 rpm

V = V

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 1,792 kW

Фазна напруга

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Фазний струм

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 230,9/25 = 9,238 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·7 = 1,792 kW

Відповідь

P = 1,792 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,28, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 219,7 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,75) = 100·0,8819 = 88,19 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 39,76 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13253/(377·400²) = 219,7 µF

Відповідь

C_ph = 219,7 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_HV = 2,273 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_HV = S/V = 15000/6600 = 2,273 A

Відповідь

I_HV = 2,273 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 250 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·8000 = 2000 → x = √(2000/8000) = 0,5

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5·500 = 250 kVA

Відповідь

S_η,max = 250 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,9922

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 16·tan(arccos 0,8) = 12 kvar

Q₂ = −22·tan(arccos 0,95) = −7,231 kvar

Сумарні значення

P = 16 + 22 = 38 kW

Q = 12 + (−7,231) = 4,769 kvar

S = √(38² + 4,769²) = 38,3 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 38/38,3 = 0,9922 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,9922

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 115,7 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(49,46°) = 29,23 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(25,84°) = 12,11 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 17,12 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 25000/(240·0,9) = 115,7 A

Відповідь

I_new = 115,7 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 316,6 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,002) = 316,6 µF

Відповідь

C = 316,6 µF

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 2,063

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,47·10⁻⁶)) = 3283 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,005/(0,47·10⁻⁶)) = 2,063

Відповідь

Q = 2,063

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 90,07 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 120·25 = 3000 W

P_dev = 115·25 = 2875 W

P_out = 2875 − 173 = 2702 W

ККД

η = 2702/3000·100 = 90,07 %

Відповідь

η = 90,07 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 52,7 V

Зворотна ЕРС

E = 0,6·62,83 = 37,7 V

Струм якоря

I_a = 18/0,6 = 30 A

Напруга якоря

V = 37,7 + 30·0,5 = 52,7 V

Відповідь

V = 52,7 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems