Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 37 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 92%, а коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Лінійна напруга мережі 690 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 37 kWη = 92%cos φ = 0,88V_L = 690 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 60 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Підсилювач з вихідним опором 800 Ω живить гучномовець 50 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 800 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

R_s = 800 ΩR_L = 50 Ω

a =

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 1500 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому) його ККД становить 96%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 500 kVAP_core = 1500 Wpf = 0,95η = 96%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 28 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним) і нагрівач потужністю 28 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.

V = 240 VP₁ = 28 kW, pf₁ = 0,8 відстаючийP₂ = 28 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 19 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) від мережі 400 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 100 µF. Знайдіть новий струм лінії I.

P = 19 kWpf₁ = 0,7V = 400 Vf = 50 HzC = 100 µF

I = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 0,1 µF має резонувати на частоті 2000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 2000 HzC = 0,1 µF

L = mH

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 22 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,5 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) працює від 120 V. При повному навантаженні він споживає 10 A. Нехтуючи струмом неробочого ходу, знайдіть його регулювання швидкості SR = (n₀ − n_FL)/n_FL у відсотках.

V = 120 Vk = 0,5 V·s/radR_a = 0,8 ΩI_FL = 10 A

SR = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,4 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) від шини постійного струму 120 V. Середня напруга якоря дорівнює D·120 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 400 rpm з навантаженням 2 N·m.

V_dc = 120 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 2 N·mn = 400 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 38,24 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 37/0,92 = 40,22 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 40217/(√3·690·0,88) = 38,24 A

Відповідь

I_L = 38,24 A

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 41,09 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 41,09 kvar

Відповідь

Q_C = 41,09 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: a = 4

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·50 = 800

a = √(800/50) = √16 = 4

Відповідь

a = 4

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 18292 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 500·0,95 = 475 kW

P_in = 475000/0,96 = 494792 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 494792 − 475000 = 19792 W

P_cu,fl = 19792 − 1500 = 18292 W

Відповідь

P_cu,fl = 18292 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 249,2 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 28·tan(arccos 0,8) = 21 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Сумарні значення

P = 28 + 28 = 56 kW

Q = 21 + 0 = 21 kvar

S = √(56² + 21²) = 59,81 kVA

Загальний струм

I = S/V = 59808/240 = 249,2 A

Відповідь

I = 249,2 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 59,54 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 19·tan(arccos 0,7) = 19,38 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·50·100·10⁻⁶ = 5027 var = 5,027 kvar

Q₂ = 19,38 − 5,027 = 14,36 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(19² + 14,36²) = 23,81 kVA

Новий струм лінії

I = S₂/V = 23815/400 = 59,54 A

Відповідь

I = 59,54 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 63,33 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·0,1·10⁻⁶) = 63,33 mH

Відповідь

L = 63,33 mH

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,497 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (152,3)²) = 153,6 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/153,6 = 1,497 A

Відповідь

I = 1,497 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: SR = 7,143 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу та при повному навантаженні

n₀ = 60·120/(2π·0,5) = 2292 rpm

n_FL = 60·(120 − 10·0,8)/(2π·0,5) = 2139 rpm

Регулювання швидкості

SR = (2292 − 2139)/2139·100 = 7,143 %

Відповідь

SR = 7,143 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 16,05 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,4·41,89 + 5·0,5 = 19,26 V

Коефіцієнт заповнення

D = 19,26/120 = 16,05 %

Відповідь

D = 16,05 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems