Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 20 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,92, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 400 VI_L = 20 Acos φ = 0,92

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 250 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 50 kVA, 7200/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 50 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 50 kVA має втрати в сталі 150 W і втрати в міді 225 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 50 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 225 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 10,5 A і 1449 W від однофазної мережі 230 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 230 VI = 10,5 AP = 1449 W

X = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсатор.

P = 50 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 2,2 µF має резонувати на частоті 2000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 2000 HzC = 2,2 µF

L = mH

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 10 Ω, L = 5 mH і C = 0,022 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,022 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 15 A від джерела 48 V. Його опір якоря — 0,2 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 41 W. Знайдіть його ККД η.

V = 48 VI_a = 15 AR_a = 0,2 ΩP_rot = 41 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження (k = 0,6 V·s/rad при повному полі, R_a = 1 Ω, V = 220 V) приводить навантаження зі сталим моментом 9 N·m. Магнітний потік збудження зменшують до 85 % від повного значення. Знайдіть нову швидкість n.

V = 220 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 1 ΩT = 9 N·mΦ = 85 %

n = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 12,75 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·400·20 = 13,86 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 13,86·0,92 = 12,75 kW

Відповідь

P = 12,75 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 119,9 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 119,9 kvar

Відповідь

Q_C = 119,9 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 208,3 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 50000/240 = 208,3 A

Відповідь

I_LV = 208,3 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 40,82 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·225 = 150 → x = √(150/225) = 0,8165

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,8165·50 = 40,82 kVA

Відповідь

S_η,max = 40,82 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 17,52 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 1449/10,5² = 13,14 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 230/10,5 = 21,9 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(21,9² − 13,14²) = 17,52 Ω

Відповідь

X = 17,52 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q_C = 13,28 kvar

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(36,87°) = 37,5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(25,84°) = 24,22 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13,28 kvar

Відповідь

Q_C = 13,28 kvar

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 2,878 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·2,2·10⁻⁶) = 2,878 mH

Відповідь

L = 2,878 mH

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 318,3 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,022·10⁻⁶)) = 15175 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,005/(0,022·10⁻⁶)) = 47,67

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 15175/47,67 = 318,3 Hz

Відповідь

B = 318,3 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 88,06 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 48·15 = 720 W

P_dev = 45·15 = 675 W

P_out = 675 − 41 = 634 W

ККД

η = 634/720·100 = 88,06 %

Відповідь

η = 88,06 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 3789 rpm

Константа двигуна при послабленому полі

k₂ = 0,85·0,6 = 0,51 V·s/rad

Новий струм якоря

I_a = 9/0,51 = 17,65 A

Нова швидкість

ω = (220 − 17,65·1)/0,51 = 396,8 rad/s → n = 3789 rpm

Відповідь

n = 3789 rpm

Послаблення поля — це спосіб, яким привід постійного струму працює вище за базову швидкість.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems