Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 150 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 400 VI_L = 150 Acos φ = 0,88

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Підсилювач з вихідним опором 2700 Ω живить гучномовець 75 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 2700 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

R_s = 2700 ΩR_L = 75 Ω

a =

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 1600 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому) його ККД становить 96%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 200 kVAP_core = 1600 Wpf = 0,95η = 96%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 25 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 25 kWpf = 0,7V = 240 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 30 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 30 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 47 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 50 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 150 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,4 V·s/rad працює від 48 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n₀ у rpm.

V = 48 Vk = 0,4 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,6 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) на сталій напрузі 48 V приводить навантаження 1,2 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 300 rpm.

V = 48 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 1,2 N·mn = 300 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 91,45 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·400·150 = 103,9 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 103,9·0,88 = 91,45 kW

Відповідь

P = 91,45 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 114 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 114 kvar

Відповідь

Q_C = 114 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: a = 6

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·75 = 2700

a = √(2700/75) = √36 = 6

Відповідь

a = 6

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 6317 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 200·0,95 = 190 kW

P_in = 190000/0,96 = 197917 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 197917 − 190000 = 7917 W

P_cu,fl = 7917 − 1600 = 6317 W

Відповідь

P_cu,fl = 6317 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 25,51 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 25·1,02 = 25,51 kvar

Відповідь

Q = 25,51 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 1388 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(53,13°) = 40 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(18,19°) = 9,861 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 30,14 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 30139/(2π·60·240²) = 1388 µF

Відповідь

C = 1388 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 43,47 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (18,96)²) = 27,56 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(18,96/20) = 43,47°

Відповідь

φ = 43,47°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 86,27 Ω

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 25,4 − j56,26 Ω

Повний опір

Z = 40 + 25,4 − j56,26 = 65,4 − j56,26 Ω

|Z| = √(65,4² + 56,26²) = 86,27 Ω

Відповідь

|Z| = 86,27 Ω

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₀ = 1146 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 48/0,4 = 120 rad/s

n₀ = 60·120/(2π) = 1146 rpm

Відповідь

n₀ = 1146 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 13,38 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 1,2/0,6 = 2 A

E = 0,6·31,42 = 18,85 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (48 − 18,85)/2 = 14,58 Ω

R_s = 13,38 Ω

Відповідь

R_s = 13,38 Ω

Резистор розсіює 53,5 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems