Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 25 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,7, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 400 VI_L = 25 Acos φ = 0,7

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 75 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 8:1 підключено резистор 4 Ω. Знайдіть опір R_1′ з боку первинної обмотки.

N₁:N₂ = 8:1R_L = 4 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 50 kVA має втрати в сталі 400 W і втрати в міді 1600 W при номінальному навантаженні. Він віддає 75% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 50 kVAP_core = 400 WP_cu,fl = 1600 Wx = 0,75pf = 0,8

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 18 A і 2070 W від однофазної мережі 230 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть R.

V = 230 VI = 18 AP = 2070 W

R = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 35 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 400 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 35 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 20 mH

|Z| = Ω

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,75 N·m/A, R_a = 1,2 Ω) працює від 110 V і приводить навантаження з моментом 6 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 110 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 1,2 ΩT = 6 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму з k = 1 V·s/rad і R_a = 0,25 Ω має приводити навантаження 40 N·m при 1200 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 1 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 40 N·mn = 1200 rpm

V = V

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 12,12 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·400·25 = 17,32 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 17,32·0,7 = 12,12 kW

Відповідь

P = 12,12 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 197,9 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,78) = 75·0,8023 = 60,17 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,95) = 75·0,3287 = 24,65 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 35,52 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11840/(377·398,4²) = 197,9 µF

Відповідь

C_ph = 197,9 µF

3.Трансформатори

Відповідь: R_1′ = 256 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R_1′ = a²·R_L = 8²·4 = 256 Ω

Відповідь

R_1′ = 256 Ω

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 1300 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·1600 = 900 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 400 + 900 = 1300 W

Відповідь

P_loss = 1300 W

ККД при цьому навантаженні η = 95,85%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: R = 6,389 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 2070/18² = 6,389 Ω

Відповідь

R = 6,389 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 89,29 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(41,41°) = 30,87 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(11,48°) = 7,107 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 23,76 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 35000/(400·0,98) = 89,29 A

Відповідь

I_new = 89,29 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 7,825 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·100·0,02 = 12,57 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 230/10 = 23 A

I_X = V/X_L = 230/12,57 = 18,3 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(23² + 18,3²) = 29,39 A

Повний опір

|Z| = V/I = 230/29,39 = 7,825 Ω

Відповідь

|Z| = 7,825 Ω

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,2253 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−526,7)²) = 532,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/532,7 = 0,2253 A

Відповідь

I = 0,2253 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 1278 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 6/0,75 = 8 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 110 − 8·1,2 = 100,4 V

ω = E/k = 133,9 rad/s → n = 1278 rpm

Відповідь

n = 1278 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 135,7 V

Зворотна ЕРС

E = 1·125,7 = 125,7 V

Струм якоря

I_a = 40/1 = 40 A

Напруга якоря

V = 125,7 + 40·0,25 = 135,7 V

Відповідь

V = 135,7 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems