Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 18,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 93%, а коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 18,5 kWη = 93%cos φ = 0,88V_L = 400 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 5:1 прикладено 600 V. До вторинної обмотки підключено резистор 60 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 600 VR_L = 60 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 25 kVA має втрати в сталі 75 W і втрати в міді 150 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 25 kVAP_core = 75 WP_cu,fl = 150 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 16,5 A і 2376 W від однофазної мережі 240 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 240 VI = 16,5 AP = 2376 W

X = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 10 V (діюче значення), 60 Hz має внутрішній опір Z_s = 25 + j5 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Навантаження для максимальної потужності складається з резистора, послідовно з’єднаного з конденсатором. Знайдіть ємність C.

V_s = 10 V (rms)f = 60 HzZ_s = 25 + j5 Ω

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

cos φ =

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 20 ΩC = 100 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму віддає 11 kW механічної потужності при 1200 rpm. Знайдіть момент на валу T.

P = 11 kWn = 1200 rpm

T = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,3 V·s/rad, R_a = 0,2 Ω) від шини постійного струму 220 V. Середня напруга якоря дорівнює D·220 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 800 rpm з навантаженням 6 N·m.

V_dc = 220 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 6 N·mn = 800 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 32,63 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 18,5/0,93 = 19,89 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 19892/(√3·400·0,88) = 32,63 A

Відповідь

I_L = 32,63 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 244 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 63,59 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21197/(377·480²) = 244 µF

Відповідь

C_ph = 244 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 0,4 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 600/5 = 120 V

I₂ = 120/60 = 2 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 0,4 A

Відповідь

I₁ = 0,4 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 1500 Ω, і 600/1500 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 17,68 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·150 = 75 → x = √(75/150) = 0,7071

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,7071·25 = 17,68 kVA

Відповідь

S_η,max = 17,68 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 11,64 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 2376/16,5² = 8,727 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 240/16,5 = 14,55 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(14,55² − 8,727²) = 11,64 Ω

Відповідь

X = 11,64 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 530,5 µF

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 25 − j5 Ω

Ємність

X_C = 5 Ω → C = 1/(2π·60·5) = 530,5 µF

Відповідь

C = 530,5 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,3173

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 62,83 Ω, X_C = 361,7 Ω

Повний опір

|Z| = √(100² + (−298,9)²) = 315,2 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 100/315,2 = 0,3173

Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,3173

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,42 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 2,734 − j6,87 Ω

Повний опір

Z = 25 + 2,734 − j6,87 = 27,73 − j6,87 Ω

|Z| = √(27,73² + 6,87²) = 28,57 Ω

Струм

I = V/|Z| = 12/28,57 = 0,42 A

Відповідь

I = 0,42 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T = 87,54 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість у rad/s

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 11000/125,7 = 87,54 N·m

Відповідь

T = 87,54 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 13,24 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,3·83,78 + 20·0,2 = 29,13 V

Коефіцієнт заповнення

D = 29,13/220 = 13,24 %

Відповідь

D = 13,24 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems