Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 30 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 94%, а коефіцієнт потужності 0,85, відстаючий. Лінійна напруга мережі 690 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 30 kWη = 94%cos φ = 0,85V_L = 690 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 6:1 підключено резистор 4 Ω. Знайдіть опір R_1′ з боку первинної обмотки.

N₁:N₂ = 6:1R_L = 4 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 150 kVA має втрати в сталі 900 W і втрати в міді 1800 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 150 kVAP_core = 900 WP_cu,fl = 1800 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 30 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 30 kWpf = 0,75V = 400 V

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 200 kVA живить навантаження 61 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 61 kWpf₁ = 0,75

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 1 µF має резонувати на частоті 5000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 5000 HzC = 1 µF

L = mH

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму віддає 2,2 kW механічної потужності при 750 rpm. Знайдіть момент на валу T.

P = 2,2 kWn = 750 rpm

T = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,2 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) від шини постійного струму 48 V. Середня напруга якоря дорівнює D·48 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 500 rpm з навантаженням 1,2 N·m.

V_dc = 48 Vk = 0,2 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 1,2 N·mn = 500 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 31,42 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 30/0,94 = 31,91 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 31915/(√3·690·0,85) = 31,42 A

Відповідь

I_L = 31,42 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 278,7 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 50,43 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 16809/(377·400²) = 278,7 µF

Відповідь

C_ph = 278,7 µF

3.Трансформатори

Відповідь: R_1′ = 144 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R_1′ = a²·R_L = 6²·4 = 144 Ω

Відповідь

R_1′ = 144 Ω

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 106,1 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·1800 = 900 → x = √(900/1800) = 0,7071

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,7071·150 = 106,1 kVA

Відповідь

S_η,max = 106,1 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 100 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 30000/(400·0,75) = 100 A

Відповідь

I = 100 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 131,6 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 61·tan(arccos 0,75) = 53,8 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 53,8²) = 192,6 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 192,6 − 61 = 131,6 kW

Відповідь

ΔP = 131,6 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 1,013 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·1·10⁻⁶) = 1,013 mH

Відповідь

L = 1,013 mH

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 503,3 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·1·10⁻⁶)) = 503,3 Hz

Відповідь

f₀ = 503,3 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T = 28,01 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість у rad/s

ω = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 2200/78,54 = 28,01 N·m

Відповідь

T = 28,01 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 28,07 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,2·52,36 + 6·0,5 = 13,47 V

Коефіцієнт заповнення

D = 13,47/48 = 28,07 %

Відповідь

D = 28,07 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems