Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 5 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 208 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 208 VZ = 5 + j12 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 12:1 підключено резистор 2 Ω. Знайдіть опір R_1′ з боку первинної обмотки.

N₁:N₂ = 12:1R_L = 2 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 25 kVA має втрати в сталі 100 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,85 (відстаючому) його ККД становить 98,2%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 25 kVAP_core = 100 Wpf = 0,85η = 98,2%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Навантаження з повним опором Z = 9 + j12 Ω під’єднано до однофазної мережі 240 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.

V = 240 VZ = 9 + j12 Ω

Q = var

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 19 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 470 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

P = 19 kWpf₁ = 0,6V = 240 Vf = 50 HzC = 470 µF

cos φ =

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 2 mH має резонувати на частоті 500 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 500 HzL = 2 mH

C = µF

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 100 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,75 N·m/A і R_a = 0,2 Ω під’єднано до 240 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 240 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 0,2 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,4 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) від шини постійного струму 220 V. Середня напруга якоря дорівнює D·220 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 600 rpm з навантаженням 2 N·m.

V_dc = 220 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 2 N·mn = 600 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 1,28 kW

Фазна напруга

V_ph = 208/√3 = 120,1 V

Фазний струм

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I_ph = 120,1/13 = 9,238 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·5 = 1,28 kW

Відповідь

P = 1,28 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,3846, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 44,26 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,95) = 80·0,3287 = 26,29 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 44,26 kvar

Відповідь

Q_C = 44,26 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: R_1′ = 288 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R_1′ = a²·R_L = 12²·2 = 288 Ω

Відповідь

R_1′ = 288 Ω

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 289,5 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 25·0,85 = 21,25 kW

P_in = 21250/0,982 = 21640 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 21640 − 21250 = 389,5 W

P_cu,fl = 389,5 − 100 = 289,5 W

Відповідь

P_cu,fl = 289,5 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 3072 var

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I = V/|Z| = 240/15 = 16 A

Реактивна потужність

Q = I²·X = 16²·12 = 3072 var

Відповідь

Q = 3072 var

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,7486

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 19·tan(arccos 0,6) = 25,33 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·470·10⁻⁶ = 8505 var = 8,505 kvar

Q₂ = 25,33 − 8,505 = 16,83 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(19² + 16,83²) = 25,38 kVA

Новий коефіцієнт потужності

cos φ = P/S₂ = 19/25,38 = 0,7486

Відповідь

cos φ = 0,7486

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 50,66 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,002) = 50,66 µF

Відповідь

C = 50,66 µF

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 170,2 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (11,17)²) = 18,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/18,7 = 6,416 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 6,416·26,53 = 170,2 V

Відповідь

V_C = 170,2 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 900 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 240/0,2 = 1200 A

Стопорний момент

T_stall = 0,75·1200 = 900 N·m

Відповідь

T_stall = 900 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 14,15 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,4·62,83 + 5·1,2 = 31,13 V

Коефіцієнт заповнення

D = 31,13/220 = 14,15 %

Відповідь

D = 14,15 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems