Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 120 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 208 VI_L = 120 Acos φ = 0,88

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 300 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 2:1 підключено резистор 16 Ω. Знайдіть опір R_1′ з боку первинної обмотки.

N₁:N₂ = 2:1R_L = 16 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 1200 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому) його ККД становить 97,5%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 200 kVAP_core = 1200 Wpf = 0,95η = 97,5%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Навантаження з повним опором Z = 7 + j24 Ω під’єднано до однофазної мережі 120 V (діюче значення). Знайдіть повну потужність S.

V = 120 VZ = 7 + j24 Ω

S = VA

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 35 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 35 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 50 Ω, L = 5 mH і C = 0,01 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 50 ΩL = 5 mHC = 0,01 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,75 N·m/A, R_a = 0,2 Ω) працює від 120 V і приводить навантаження з моментом 30 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 120 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 0,2 ΩT = 30 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження на 120 V (R_a = 0,25 Ω) обертається з 1440 rpm при струмі якоря 50 A. Навантаження змінюється, і струм стає 30 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n₂.

V = 120 VR_a = 0,25 Ωn₁ = 1440 rpmI_a1 = 50 AI_a2 = 30 A

n₂ = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 38,04 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·208·120 = 43,23 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 43,23·0,88 = 38,04 kW

Відповідь

P = 38,04 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 2527 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,8) = 300·0,75 = 225 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,98) = 300·0,2031 = 60,92 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 164,1 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 54694/(377·239,6²) = 2527 µF

Відповідь

C_ph = 2527 µF

3.Трансформатори

Відповідь: R_1′ = 64 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R_1′ = a²·R_L = 2²·16 = 64 Ω

Відповідь

R_1′ = 64 Ω

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 3672 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 200·0,95 = 190 kW

P_in = 190000/0,975 = 194872 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 194872 − 190000 = 4872 W

P_cu,fl = 4872 − 1200 = 3672 W

Відповідь

P_cu,fl = 3672 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: S = 576 VA

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 120/25 = 4,8 A

Повна потужність

S = V·I = 120·4,8 = 576 VA

Відповідь

S = 576 VA

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 162 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(41,41°) = 30,87 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(25,84°) = 16,95 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13,92 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 35000/(240·0,9) = 162 A

Відповідь

I_new = 162 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,143 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (48,87)²) = 69,92 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/69,92 = 0,143 A

Відповідь

I = 0,143 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 1592 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,01·10⁻⁶)) = 22508 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,005/(0,01·10⁻⁶)) = 14,14

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 22508/14,14 = 1592 Hz

Відповідь

B = 1592 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 1426 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 30/0,75 = 40 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 120 − 40·0,2 = 112 V

ω = E/k = 149,3 rad/s → n = 1426 rpm

Відповідь

n = 1426 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₂ = 1507 rpm

Зворотна ЕРС до і після

E₁ = 120 − 50·0,25 = 107,5 V

E₂ = 120 − 30·0,25 = 112,5 V

Нова швидкість

n₂ = 1440·112,5/107,5 = 1507 rpm

Відповідь

n₂ = 1507 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems