Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 55 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 94%, а коефіцієнт потужності 0,86, відстаючий. Лінійна напруга мережі 480 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 55 kWη = 94%cos φ = 0,86V_L = 480 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 500 kVA, 4800/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_HV в обмотці вищої напруги.

S = 500 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 1250 W і втрати в міді 3125 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 250 kVAP_core = 1250 WP_cu,fl = 3125 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 13 A і 2340 W від однофазної мережі 240 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть R.

V = 240 VI = 13 AP = 2340 W

R = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 21 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 400 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 68 µF. Знайдіть новий струм лінії I.

P = 21 kWpf₁ = 0,6V = 400 Vf = 50 HzC = 68 µF

I = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 20 mH

|Z| = Ω

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 5 Ω, L = 5 mH і C = 0,047 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,047 µF

Q =

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 1 N·m/A, R_a = 0,25 Ω) працює від 110 V і приводить навантаження з моментом 40 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 110 Vk = 1 N·m/AR_a = 0,25 ΩT = 40 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження на 220 V (R_a = 2 Ω) обертається з 1440 rpm при струмі якоря 6 A. Навантаження змінюється, і струм стає 2,4 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n₂.

V = 220 VR_a = 2 Ωn₁ = 1440 rpmI_a1 = 6 AI_a2 = 2,4 A

n₂ = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 81,83 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 55/0,94 = 58,51 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 58511/(√3·480·0,86) = 81,83 A

Відповідь

I_L = 81,83 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 444,9 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 96,61 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 32202/(314,2·480²) = 444,9 µF

Відповідь

C_ph = 444,9 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_HV = 104,2 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_HV = S/V = 500000/4800 = 104,2 A

Відповідь

I_HV = 104,2 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 158,1 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·3125 = 1250 → x = √(1250/3125) = 0,6325

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,6325·250 = 158,1 kVA

Відповідь

S_η,max = 158,1 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: R = 13,85 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 2340/13² = 13,85 Ω

Відповідь

R = 13,85 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 80,83 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 21·tan(arccos 0,6) = 28 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·50·68·10⁻⁶ = 3418 var = 3,418 kvar

Q₂ = 28 − 3,418 = 24,58 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(21² + 24,58²) = 32,33 kVA

Новий струм лінії

I = S₂/V = 32331/400 = 80,83 A

Відповідь

I = 80,83 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 23,23 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·500·0,02 = 62,83 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 120/25 = 4,8 A

I_X = V/X_L = 120/62,83 = 1,91 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(4,8² + 1,91²) = 5,166 A

Повний опір

|Z| = V/I = 120/5,166 = 23,23 Ω

Відповідь

|Z| = 23,23 Ω

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 65,23

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,047·10⁻⁶)) = 10382 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,005/(0,047·10⁻⁶)) = 65,23

Відповідь

Q = 65,23

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 954,9 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 40/1 = 40 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 110 − 40·0,25 = 100 V

ω = E/k = 100 rad/s → n = 954,9 rpm

Відповідь

n = 954,9 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₂ = 1490 rpm

Зворотна ЕРС до і після

E₁ = 220 − 6·2 = 208 V

E₂ = 220 − 2,4·2 = 215,2 V

Нова швидкість

n₂ = 1440·215,2/208 = 1490 rpm

Відповідь

n₂ = 1490 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems