Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 7,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 88%, а коефіцієнт потужності 0,86, відстаючий. Лінійна напруга мережі 690 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 7,5 kWη = 88%cos φ = 0,86V_L = 690 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 150 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 25 kVA, 10000/400 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_HV в обмотці вищої напруги.

S = 25 kVAV₁ = 10000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 800 W і втрати в міді 2000 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 200 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2000 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 13 A і 2652 W від однофазної мережі 240 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 240 VI = 13 AP = 2652 W

X = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 40 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 40 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

P = W

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,75 N·m/A, R_a = 0,4 Ω) працює від 220 V і приводить навантаження з моментом 15 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 220 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 0,4 ΩT = 15 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,3 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) на сталій напрузі 120 V приводить навантаження 3,6 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 1000 rpm.

V = 120 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 3,6 N·mn = 1000 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 8,292 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 7,5/0,88 = 8,523 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8523/(√3·690·0,86) = 8,292 A

Відповідь

I_L = 8,292 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 299,4 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,8) = 150·0,75 = 112,5 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 48,6 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 16200/(314,2·415²) = 299,4 µF

Відповідь

C_ph = 299,4 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_HV = 2,5 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_HV = S/V = 25000/10000 = 2,5 A

Відповідь

I_HV = 2,5 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 126,5 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·2000 = 800 → x = √(800/2000) = 0,6325

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,6325·200 = 126,5 kVA

Відповідь

S_η,max = 126,5 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 9,725 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 2652/13² = 15,69 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 240/13 = 18,46 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(18,46² − 15,69²) = 9,725 Ω

Відповідь

X = 9,725 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 1564 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(53,13°) = 53,33 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(25,84°) = 19,37 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,96 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 33960/(2π·60·240²) = 1564 µF

Відповідь

C = 1564 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 1,643 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 125,7 Ω, X_C = 169,3 Ω

Повний опір

|Z| = √(40² + (−43,65)²) = 59,21 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 12/59,21 = 0,2027 A

P = I²·R = 0,2027²·40 = 1,643 W

Відповідь

P = 1,643 W

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,412 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (155)²) = 162,9 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/162,9 = 1,412 A

Відповідь

I = 1,412 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 2699 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 15/0,75 = 20 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 220 − 20·0,4 = 212 V

ω = E/k = 282,7 rad/s → n = 2699 rpm

Відповідь

n = 2699 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 6,182 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 3,6/0,3 = 12 A

E = 0,3·104,7 = 31,42 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (120 − 31,42)/12 = 7,382 Ω

R_s = 6,182 Ω

Відповідь

R_s = 6,182 Ω

Резистор розсіює 890,2 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems