Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M90 kW, η = 93%cos φ = 0,84

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 90 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 93%, а коефіцієнт потужності 0,84, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм IL.

Pout = 90 kWη = 93%cos φ = 0,84VL = 400 V
IL = A
2.Трифазні системиСкладна
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 200 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.ТрансформаториСередня
2 ΩN1​N2​128 Ω

Підсилювач з вихідним опором 128 Ω живить гучномовець 2 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 128 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

Rs = 128 ΩRL = 2 Ω
a =
4.ТрансформаториСкладна
75 kVA

Однофазний трансформатор 75 kVA має втрати в сталі 225 W і втрати в міді 675 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні Sη,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 75 kVAPcore = 225 WPcu,fl = 675 W
Sη,max = kVA
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
240 VZ9 + j12 ΩI

Навантаження з повним опором Z = 9 + j12 Ω під’єднано до однофазної мережі 240 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.

V = 240 VZ = 9 + j12 Ω
Q = var
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
12 V50 HzRs​ = 8 ΩXs​ = j15 ΩZL​ = ?

Джерело 12 V (діюче значення), 50 Hz має внутрішній опір Zs = 8 + j15 Ω. Опір навантаження ZL можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність Pmax, яку можна передати навантаженню.

Vs = 12 V (rms)f = 50 HzZs = 8 + j15 Ω
Pmax = W
7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
12 V50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 2,2 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF
I = A
8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
VfR = 5 ΩL = 2 mHC = 0,47 µF

Послідовне RLC-коло має R = 5 Ω, L = 2 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 5 ΩL = 2 mHC = 0,47 µF
B = Hz
9.Двигуни постійного струмуСередня
+−VRa​M+−En = 750 rpmT = ?

Двигун постійного струму віддає 5,5 kW механічної потужності при 750 rpm. Знайдіть момент на валу T.

P = 5,5 kWn = 750 rpm
T = N·m
10.Двигуни постійного струмуСкладна
+−120 VRa​ = 1,2 ΩM+−EωT

Малий двигун постійного струму має опір якоря 1,2 Ω і працює від 120 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність Pmax, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 120 VRa = 1,2 Ω
Pmax = W

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: IL = 166,3 A

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Електрична вхідна потужність

Pin = Pout/η = 90/0,93 = 96,77 kW

Струм лінії

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 96774/(√3·400·0,84) = 166,3 A

Відповідь

IL = 166,3 A
2.Трифазні системи

Відповідь: QC = 95,91 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,72) = 200·0,9639 = 192,8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 95,91 kvar

Відповідь

QC = 95,91 kvar
3.Трансформатори

Відповідь: a = 8

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·2 = 128
a = √(128/2) = √64 = 8

Відповідь

a = 8
4.Трансформатори

Відповідь: Sη,max = 43,3 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·675 = 225 → x = √(225/675) = 0,5774

Навантаження при максимальному ККД

Sη,max = x·S = 0,5774·75 = 43,3 kVA

Відповідь

Sη,max = 43,3 kVA
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 3072 var

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 240/15 = 16 A

Реактивна потужність

Q = I²·X = 16²·12 = 3072 var

Відповідь

Q = 3072 var
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Pmax = 4,5 W

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

ZL = Zs* = 8 − j15 Ω

Максимальна потужність

I = Vs/(2Rs) = 12/16 = 0,75 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 12²/(4·8) = 4,5 W

Відповідь

Pmax = 4,5 W
7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,008755 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·2,2·10⁻⁶) = 1447 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−1368)²) = 1371 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/1371 = 0,008755 A

Відповідь

I = 0,008755 A
8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 397,9 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонансна частота

f0 = 1/(2π·√(0,002·0,47·10⁻⁶)) = 5191 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,002/(0,47·10⁻⁶)) = 13,05

Смуга пропускання

B = f0/Q = 5191/13,05 = 397,9 Hz

Відповідь

B = 397,9 Hz
9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T = 70,03 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість у rad/s

ω = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 5500/78,54 = 70,03 N·m

Відповідь

T = 70,03 N·m
10.Двигуни постійного струму

Відповідь: Pmax = 3000 W

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Максимальна потужність

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·1,2) = 3000 W

Відповідь

Pmax = 3000 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems