Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 12 + j16 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 480 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 480 VZ = 12 + j16 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 3:1 підключено резистор 75 Ω. Знайдіть опір R_1′ з боку первинної обмотки.

N₁:N₂ = 3:1R_L = 75 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 75 kVA має втрати в сталі 600 W і втрати в міді 1200 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 75 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 1200 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 9,5 A і 1368 W від однофазної мережі 240 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть R.

V = 240 VI = 9,5 AP = 1368 W

R = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 30 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 30 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF

cos φ =

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 20 Ω, L = 2 mH і C = 1 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 20 ΩL = 2 mHC = 1 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 6 A від джерела 24 V. Його опір якоря — 0,5 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 4 W. Знайдіть його ККД η.

V = 24 VI_a = 6 AR_a = 0,5 ΩP_rot = 4 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,6 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) на сталій напрузі 120 V приводить навантаження 6 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 800 rpm.

V = 120 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 6 N·mn = 800 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 20,74 kW

Фазна напруга

V_ph = V_L = 480 V

Фазний струм

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I_ph = 480/20 = 24 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·24²·12 = 20,74 kW

Відповідь

P = 20,74 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 54,69 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54,69 kvar

Відповідь

Q_C = 54,69 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: R_1′ = 675 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R_1′ = a²·R_L = 3²·75 = 675 Ω

Відповідь

R_1′ = 675 Ω

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 53,03 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·1200 = 600 → x = √(600/1200) = 0,7071

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,7071·75 = 53,03 kVA

Відповідь

S_η,max = 53,03 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: R = 15,16 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 1368/9,5² = 15,16 Ω

Відповідь

R = 15,16 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 1146 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(45,57°) = 30,61 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(18,19°) = 9,861 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 20,75 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 20746/(2π·50·240²) = 1146 µF

Відповідь

C = 1146 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,4598

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 62,83 Ω, X_C = 33,86 Ω

Повний опір

|Z| = √(15² + (28,97)²) = 32,62 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 15/32,62 = 0,4598

Коло індуктивне, тож коефіцієнт потужності індуктивний (струм відстає).

Відповідь

cos φ = 0,4598

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 1592 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,002·1·10⁻⁶)) = 3559 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,002/(1·10⁻⁶)) = 2,236

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 3559/2,236 = 1592 Hz

Відповідь

B = 1592 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 84,72 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 24·6 = 144 W

P_dev = 21·6 = 126 W

P_out = 126 − 4 = 122 W

ККД

η = 122/144·100 = 84,72 %

Відповідь

η = 84,72 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 6,573 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 6/0,6 = 10 A

E = 0,6·83,78 = 50,27 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (120 − 50,27)/10 = 6,973 Ω

R_s = 6,573 Ω

Відповідь

R_s = 6,573 Ω

Резистор розсіює 657,3 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems