Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 4 + j3 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 208 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 208 VZ = 4 + j3 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 10:1 прикладено 1200 V. До вторинної обмотки підключено резистор 48 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 1200 VR_L = 48 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 150 kVA має втрати в сталі 750 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому) його ККД становить 97,5%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 150 kVAP_core = 750 Wpf = 0,9η = 97,5%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 9,5 A і 969 W від однофазної мережі 120 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 120 VI = 9,5 AP = 969 W

X = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 12 V (діюче значення), 60 Hz має внутрішній опір Z_s = 2 + j20 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність P_max, яку можна передати навантаженню.

V_s = 12 V (rms)f = 60 HzZ_s = 2 + j20 Ω

P_max = W

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µF

cos φ =

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму віддає 2,2 kW механічної потужності при 750 rpm. Знайдіть момент на валу T.

P = 2,2 kWn = 750 rpm

T = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Малий двигун постійного струму має опір якоря 1,5 Ω і працює від 120 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність P_max, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 120 VR_a = 1,5 Ω

P_max = W

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 6,922 kW

Фазна напруга

V_ph = 208/√3 = 120,1 V

Фазний струм

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I_ph = 120,1/5 = 24,02 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·24,02²·4 = 6,922 kW

Відповідь

P = 6,922 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 215,7 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 42,02 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14007/(377·415²) = 215,7 µF

Відповідь

C_ph = 215,7 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 0,25 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 1200/10 = 120 V

I₂ = 120/48 = 2,5 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 0,25 A

Відповідь

I₁ = 0,25 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 4800 Ω, і 1200/4800 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 2712 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 150·0,9 = 135 kW

P_in = 135000/0,975 = 138462 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 138462 − 135000 = 3462 W

P_cu,fl = 3462 − 750 = 2712 W

Відповідь

P_cu,fl = 2712 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 6,654 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 969/9,5² = 10,74 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 120/9,5 = 12,63 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(12,63² − 10,74²) = 6,654 Ω

Відповідь

X = 6,654 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P_max = 18 W

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 2 − j20 Ω

Максимальна потужність

I = V_s/(2R_s) = 12/4 = 3 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·2) = 18 W

Відповідь

P_max = 18 W

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,7367

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 62,83 Ω, X_C = 16,93 Ω

Повний опір

|Z| = √(50² + (45,9)²) = 67,87 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 50/67,87 = 0,7367

Коло індуктивне, тож коефіцієнт потужності індуктивний (струм відстає).

Відповідь

cos φ = 0,7367

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,08813 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−271,2)²) = 272,3 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/272,3 = 0,08813 A

Відповідь

I = 0,08813 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T = 28,01 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість у rad/s

ω = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 2200/78,54 = 28,01 N·m

Відповідь

T = 28,01 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: P_max = 2400 W

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Максимальна потужність

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 120²/(4·1,5) = 2400 W

Відповідь

P_max = 2400 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems