Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 10 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,92, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 208 VI_L = 10 Acos φ = 0,92

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 10:1 підключено резистор 75 Ω. Знайдіть опір R_1′ з боку первинної обмотки.

N₁:N₂ = 10:1R_L = 75 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 3000 W і втрати в міді 7500 W при номінальному навантаженні. Він віддає 25% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 500 kVAP_core = 3000 WP_cu,fl = 7500 Wx = 0,25pf = 0,95

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 20 kW при коефіцієнті потужності 0,85 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 20 kWpf = 0,85V = 230 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 10 V (діюче значення), 60 Hz має внутрішній опір Z_s = 10 + j20 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність P_max, яку можна передати навантаженню.

V_s = 10 V (rms)f = 60 HzZ_s = 10 + j20 Ω

P_max = W

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 10 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 2 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 2 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

V_L = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму віддає 0,75 kW механічної потужності при 1200 rpm. Знайдіть момент на валу T.

P = 0,75 kWn = 1200 rpm

T = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму з k = 0,8 V·s/rad і R_a = 0,2 Ω має приводити навантаження 20 N·m при 1000 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 0,8 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 20 N·mn = 1000 rpm

V = V

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 3,314 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·208·10 = 3,603 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 3,603·0,92 = 3,314 kW

Відповідь

P = 3,314 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 308,2 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 138,3 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 46103/(314,2·690²) = 308,2 µF

Відповідь

C_ph = 308,2 µF

3.Трансформатори

Відповідь: R_1′ = 7500 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R_1′ = a²·R_L = 10²·75 = 7500 Ω

Відповідь

R_1′ = 7500 Ω

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 3469 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·7500 = 468,8 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 3000 + 468,8 = 3469 W

Відповідь

P_loss = 3469 W

ККД при цьому навантаженні η = 97,16%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 12,39 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 20·0,6197 = 12,39 kvar

Відповідь

Q = 12,39 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P_max = 2,5 W

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 10 − j20 Ω

Максимальна потужність

I = V_s/(2R_s) = 10/20 = 0,5 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 10²/(4·10) = 2,5 W

Відповідь

P_max = 2,5 W

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,3662 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−312)²) = 327,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/327,7 = 0,3662 A

Відповідь

I = 0,3662 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 12,71 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·2,2·10⁻⁶) = 4767 rad/s

I = V/R = 2/15 = 0,1333 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 4767·0,02 = 95,35 Ω

V_L = I·X_L = 0,1333·95,35 = 12,71 V

Відповідь

V_L = 12,71 V

Це в Q = 6,356 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T = 5,968 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість у rad/s

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 750/125,7 = 5,968 N·m

Відповідь

T = 5,968 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 88,78 V

Зворотна ЕРС

E = 0,8·104,7 = 83,78 V

Струм якоря

I_a = 20/0,8 = 25 A

Напруга якоря

V = 83,78 + 25·0,2 = 88,78 V

Відповідь

V = 88,78 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems