Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 12 + j5 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 480 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 480 VZ = 12 + j5 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 50 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 5:1 прикладено 1200 V. До вторинної обмотки підключено резистор 40 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1200 VR_L = 40 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 150 kVA має втрати в сталі 1200 W і втрати в міді 1800 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 150 kVAP_core = 1200 WP_cu,fl = 1800 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 230 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 19 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і навантаження 11 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (ємнісним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 230 VP₁ = 19 kW, pf₁ = 0,7 відстаючийP₂ = 11 kW, pf₂ = 0,7 ємнісний

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 10 V (діюче значення), 50 Hz має внутрішній опір Z_s = 8 + j40 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність P_max, яку можна передати навантаженню.

V_s = 10 V (rms)f = 50 HzZ_s = 8 + j40 Ω

P_max = W

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 47 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 12 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 12 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 0,47 µF

V_L = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,15 N·m/A, R_a = 1,5 Ω) працює від 24 V і приводить навантаження з моментом 0,3 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 24 Vk = 0,15 N·m/AR_a = 1,5 ΩT = 0,3 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження (k = 0,75 V·s/rad при повному полі, R_a = 2 Ω, V = 110 V) приводить навантаження зі сталим моментом 1,5 N·m. Магнітний потік збудження зменшують до 90 % від повного значення. Знайдіть нову швидкість n.

V = 110 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 2 ΩT = 1,5 N·mΦ = 90 %

n = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 49,08 kW

Фазна напруга

V_ph = V_L = 480 V

Фазний струм

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω

I_ph = 480/13 = 36,92 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·36,92²·12 = 49,08 kW

Відповідь

P = 49,08 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,9231, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 13,28 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,8) = 50·0,75 = 37,5 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13,28 kvar

Відповідь

Q_C = 13,28 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 1,2 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 1200/5 = 240 V

I₂ = 240/40 = 6 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 1,2 A

Відповідь

I₁ = 1,2 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 1000 Ω, і 1200/1000 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 122,5 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·1800 = 1200 → x = √(1200/1800) = 0,8165

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,8165·150 = 122,5 kVA

Відповідь

S_η,max = 122,5 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,9649

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 19·tan(arccos 0,7) = 19,38 kvar

Q₂ = −11·tan(arccos 0,7) = −11,22 kvar

Сумарні значення

P = 19 + 11 = 30 kW

Q = 19,38 + (−11,22) = 8,162 kvar

S = √(30² + 8,162²) = 31,09 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 30/31,09 = 0,9649 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,9649

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P_max = 3,125 W

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 8 − j40 Ω

Максимальна потужність

I = V_s/(2R_s) = 10/16 = 0,625 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 10²/(4·8) = 3,125 W

Відповідь

P_max = 3,125 W

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 85,44 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,2 = 1257 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3,386 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (1253)²) = 1257 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(1253/100) = 85,44°

Відповідь

φ = 85,44°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 369 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,47·10⁻⁶) = 4613 rad/s

I = V/R = 12/15 = 0,8 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 4613·0,1 = 461,3 Ω

V_L = I·X_L = 0,8·461,3 = 369 V

Відповідь

V_L = 369 V

Це в Q = 30,75 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 1337 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 0,3/0,15 = 2 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 24 − 2·1,5 = 21 V

ω = E/k = 140 rad/s → n = 1337 rpm

Відповідь

n = 1337 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 1493 rpm

Константа двигуна при послабленому полі

k₂ = 0,9·0,75 = 0,675 V·s/rad

Новий струм якоря

I_a = 1,5/0,675 = 2,222 A

Нова швидкість

ω = (110 − 2,222·2)/0,675 = 156,4 rad/s → n = 1493 rpm

Відповідь

n = 1493 rpm

Послаблення поля — це спосіб, яким привід постійного струму працює вище за базову швидкість.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems