Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 15 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 90%, а коефіцієнт потужності 0,9, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 15 kWη = 90%cos φ = 0,9V_L = 400 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Підсилювач з вихідним опором 720 Ω живить гучномовець 5 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 720 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

R_s = 720 ΩR_L = 5 Ω

a =

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 100 kVA має втрати в сталі 800 W і втрати в міді 2000 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 100 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2000 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 230 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 12 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і нагрівач потужністю 5 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 230 VP₁ = 12 kW, pf₁ = 0,7 відстаючийP₂ = 5 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 45 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 230 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсатор.

P = 45 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 22 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 5 A від джерела 120 V. Його опір якоря — 1,2 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 23 W. Знайдіть його ККД η.

V = 120 VI_a = 5 AR_a = 1,2 ΩP_rot = 23 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження (k = 0,3 V·s/rad при повному полі, R_a = 0,25 Ω, V = 24 V) приводить навантаження зі сталим моментом 2,4 N·m. Магнітний потік збудження зменшують до 85 % від повного значення. Знайдіть нову швидкість n.

V = 24 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 2,4 N·mΦ = 85 %

n = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 26,73 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 15/0,9 = 16,67 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 16667/(√3·400·0,9) = 26,73 A

Відповідь

I_L = 26,73 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 642 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 32,27 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 10757/(314,2·230,9²) = 642 µF

Відповідь

C_ph = 642 µF

3.Трансформатори

Відповідь: a = 12

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·5 = 720

a = √(720/5) = √144 = 12

Відповідь

a = 12

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 63,25 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·2000 = 800 → x = √(800/2000) = 0,6325

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,6325·100 = 63,25 kVA

Відповідь

S_η,max = 63,25 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,8115

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 12·tan(arccos 0,7) = 12,24 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Сумарні значення

P = 12 + 5 = 17 kW

Q = 12,24 + 0 = 12,24 kvar

S = √(17² + 12,24²) = 20,95 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 17/20,95 = 0,8115 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,8115

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q_C = 30,55 kvar

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(41,41°) = 39,69 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(11,48°) = 9,138 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 30,55 kvar

Відповідь

Q_C = 30,55 kvar

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 84,38 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (152,3)²) = 153,1 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(152,3/15) = 84,38°

Відповідь

φ = 84,38°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 129,9 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·10·10⁻⁶)) = 129,9 Hz

Відповідь

f₀ = 129,9 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 91,17 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 120·5 = 600 W

P_dev = 114·5 = 570 W

P_out = 570 − 23 = 547 W

ККД

η = 547/600·100 = 91,17 %

Відповідь

η = 91,17 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 810,6 rpm

Константа двигуна при послабленому полі

k₂ = 0,85·0,3 = 0,255 V·s/rad

Новий струм якоря

I_a = 2,4/0,255 = 9,412 A

Нова швидкість

ω = (24 − 9,412·0,25)/0,255 = 84,89 rad/s → n = 810,6 rpm

Відповідь

n = 810,6 rpm

Послаблення поля — це спосіб, яким привід постійного струму працює вище за базову швидкість.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems