Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 24 + j7 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 208 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 208 VZ = 24 + j7 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 500 kVA, 2400/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_HV в обмотці вищої напруги.

S = 500 kVAV₁ = 2400 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 1600 W і втрати в міді 6400 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 200 kVAP_core = 1600 WP_cu,fl = 6400 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 230 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 11 kW з коефіцієнтом потужності 0,85 (індуктивним) і навантаження 6 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (ємнісним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 230 VP₁ = 11 kW, pf₁ = 0,85 відстаючийP₂ = 6 kW, pf₂ = 0,8 ємнісний

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 200 kVA живить навантаження 95 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 95 kWpf₁ = 0,6

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,15 V·s/rad, R_a = 2 Ω) працює від 48 V. При повному навантаженні він споживає 2 A. Нехтуючи струмом неробочого ходу, знайдіть його регулювання швидкості SR = (n₀ − n_FL)/n_FL у відсотках.

V = 48 Vk = 0,15 V·s/radR_a = 2 ΩI_FL = 2 A

SR = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження на 110 V (R_a = 1,5 Ω) обертається з 1500 rpm при струмі якоря 5 A. Навантаження змінюється, і струм стає 2 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n₂.

V = 110 VR_a = 1,5 Ωn₁ = 1500 rpmI_a1 = 5 AI_a2 = 2 A

n₂ = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 4,984 kW

Фазна напруга

V_ph = V_L = 208 V

Фазний струм

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

I_ph = 208/25 = 8,32 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·8,32²·24 = 4,984 kW

Відповідь

P = 4,984 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,96, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 636 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,72) = 80·0,9639 = 77,11 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,9) = 80·0,4843 = 38,75 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 38,36 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 12787/(377·230,9²) = 636 µF

Відповідь

C_ph = 636 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_HV = 208,3 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_HV = S/V = 500000/2400 = 208,3 A

Відповідь

I_HV = 208,3 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 100 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·6400 = 1600 → x = √(1600/6400) = 0,5

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5·200 = 100 kVA

Відповідь

S_η,max = 100 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,9908

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 11·tan(arccos 0,85) = 6,817 kvar

Q₂ = −6·tan(arccos 0,8) = −4,5 kvar

Сумарні значення

P = 11 + 6 = 17 kW

Q = 6,817 + (−4,5) = 2,317 kvar

S = √(17² + 2,317²) = 17,16 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 17/17,16 = 0,9908 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,9908

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 59,78 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 95·tan(arccos 0,6) = 126,7 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 126,7²) = 154,8 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 154,8 − 95 = 59,78 kW

Відповідь

ΔP = 59,78 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,059 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (89,49)²) = 94,39 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/94,39 = 1,059 A

Відповідь

I = 1,059 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 35,59 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (91,8)²) = 95,14 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/95,14 = 1,051 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 1,051·33,86 = 35,59 V

Відповідь

V_C = 35,59 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: SR = 9,091 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу та при повному навантаженні

n₀ = 60·48/(2π·0,15) = 3056 rpm

n_FL = 60·(48 − 2·2)/(2π·0,15) = 2801 rpm

Регулювання швидкості

SR = (3056 − 2801)/2801·100 = 9,091 %

Відповідь

SR = 9,091 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₂ = 1566 rpm

Зворотна ЕРС до і після

E₁ = 110 − 5·1,5 = 102,5 V

E₂ = 110 − 2·1,5 = 107 V

Нова швидкість

n₂ = 1500·107/102,5 = 1566 rpm

Відповідь

n₂ = 1566 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems