Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 6 + j8 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 208 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 208 VZ = 6 + j8 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Підсилювач з вихідним опором 576 Ω живить гучномовець 4 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 576 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

R_s = 576 ΩR_L = 4 Ω

a =

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 2500 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому) його ККД становить 98,8%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 500 kVAP_core = 2500 Wpf = 0,95η = 98,8%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 29 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 29 kWpf = 0,65V = 230 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 40 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 40 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 47 µF

cos φ =

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 1 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 1 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF

V_L = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 2 N·m/A, R_a = 1,5 Ω) працює від 220 V і приводить навантаження з моментом 30 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 220 Vk = 2 N·m/AR_a = 1,5 ΩT = 30 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,75 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) від шини постійного струму 48 V. Середня напруга якоря дорівнює D·48 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 500 rpm з навантаженням 4,5 N·m.

V_dc = 48 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 4,5 N·mn = 500 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 2,596 kW

Фазна напруга

V_ph = 208/√3 = 120,1 V

Фазний струм

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

I_ph = 120,1/10 = 12,01 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·12,01²·6 = 2,596 kW

Відповідь

P = 2,596 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 855,6 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,65) = 250·1,169 = 292,3 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 185,8 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 61928/(314,2·480²) = 855,6 µF

Відповідь

C_ph = 855,6 µF

3.Трансформатори

Відповідь: a = 12

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·4 = 576

a = √(576/4) = √144 = 12

Відповідь

a = 12

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 3269 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 500·0,95 = 475 kW

P_in = 475000/0,988 = 480769 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 480769 − 475000 = 5769 W

P_cu,fl = 5769 − 2500 = 3269 W

Відповідь

P_cu,fl = 3269 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 33,9 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 29·1,169 = 33,9 kvar

Відповідь

Q = 33,9 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 185,2 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(49,46°) = 46,77 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(25,84°) = 19,37 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 27,39 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 40000/(240·0,9) = 185,2 A

Відповідь

I_new = 185,2 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,3106

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 62,83 Ω, X_C = 16,93 Ω

Повний опір

|Z| = √(15² + (45,9)²) = 48,29 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 15/48,29 = 0,3106

Коло індуктивне, тож коефіцієнт потужності індуктивний (струм відстає).

Відповідь

cos φ = 0,3106

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 8,944 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s

I = V/R = 1/50 = 0,02 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 2236·0,2 = 447,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,02·447,2 = 8,944 V

Відповідь

V_L = 8,944 V

Це в Q = 8,944 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 943 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 30/2 = 15 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 220 − 15·1,5 = 197,5 V

ω = E/k = 98,75 rad/s → n = 943 rpm

Відповідь

n = 943 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 91,81 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,75·52,36 + 6·0,8 = 44,07 V

Коефіцієнт заповнення

D = 44,07/48 = 91,81 %

Відповідь

D = 91,81 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems