Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 10 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,95, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 208 VI_L = 10 Acos φ = 0,95

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 50 kVA, 11000/400 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 50 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 100 kVA має втрати в сталі 500 W і втрати в міді 2000 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 100 kVAP_core = 500 WP_cu,fl = 2000 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Навантаження з повним опором Z = 8 + j6 Ω під’єднано до однофазної мережі 230 V (діюче значення). Знайдіть активну потужність P, яку воно споживає.

V = 230 VZ = 8 + j6 Ω

P = W

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 15 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 400 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсатор.

P = 15 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 1 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 100 Ω, L = 20 mH і C = 0,01 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 100 ΩL = 20 mHC = 0,01 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,3 V·s/rad працює від 110 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n₀ у rpm.

V = 110 Vk = 0,3 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,6 V·s/rad, R_a = 2 Ω) на сталій напрузі 220 V приводить навантаження 3,6 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 1000 rpm.

V = 220 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 2 ΩT = 3,6 N·mn = 1000 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 3,423 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·208·10 = 3,603 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 3,603·0,95 = 3,423 kW

Відповідь

P = 3,423 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 54,78 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,65) = 80·1,169 = 93,53 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,9) = 80·0,4843 = 38,75 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54,78 kvar

Відповідь

Q_C = 54,78 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 125 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 50000/400 = 125 A

Відповідь

I_LV = 125 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 50 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·2000 = 500 → x = √(500/2000) = 0,5

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5·100 = 50 kVA

Відповідь

S_η,max = 50 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P = 4232 W

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I = V/|Z| = 230/10 = 23 A

Активна потужність

P = I²·R = 23²·8 = 4232 W

Відповідь

P = 4232 W

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q_C = 16,95 kvar

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(53,13°) = 20 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(11,48°) = 3,046 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16,95 kvar

Відповідь

Q_C = 16,95 kvar

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,07368 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (310)²) = 325,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/325,7 = 0,07368 A

Відповідь

I = 0,07368 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 795,8 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,01·10⁻⁶)) = 11254 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,02/(0,01·10⁻⁶)) = 14,14

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 11254/14,14 = 795,8 Hz

Відповідь

B = 795,8 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₀ = 3501 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 110/0,3 = 366,7 rad/s

n₀ = 60·366,7/(2π) = 3501 rpm

Відповідь

n₀ = 3501 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 24,19 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 3,6/0,6 = 6 A

E = 0,6·104,7 = 62,83 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (220 − 62,83)/6 = 26,19 Ω

R_s = 24,19 Ω

Відповідь

R_s = 24,19 Ω

Резистор розсіює 871 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems