Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 45 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 88%, а коефіцієнт потужності 0,84, відстаючий. Лінійна напруга мережі 415 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 45 kWη = 88%cos φ = 0,84V_L = 415 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 10:1 прикладено 2300 V. До вторинної обмотки підключено резистор 20 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2300 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 75 kVA має втрати в сталі 225 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) його ККД становить 97,5%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 75 kVAP_core = 225 Wpf = 0,8η = 97,5%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 12 A і 2160 W від однофазної мережі 240 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 240 VI = 12 AP = 2160 W

X = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 200 kVA живить навантаження 87 kW з коефіцієнтом потужності 0,65 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 87 kWpf₁ = 0,65

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 10 µF

cos φ =

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 50 Ω, L = 2 mH і C = 0,01 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 50 ΩL = 2 mHC = 0,01 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,4 V·s/rad працює від 48 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n₀ у rpm.

V = 48 Vk = 0,4 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження на 220 V (R_a = 0,8 Ω) обертається з 900 rpm при струмі якоря 20 A. Навантаження змінюється, і струм стає 8 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n₂.

V = 220 VR_a = 0,8 Ωn₁ = 900 rpmI_a1 = 20 AI_a2 = 8 A

n₂ = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 84,69 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 45/0,88 = 51,14 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 51136/(√3·415·0,84) = 84,69 A

Відповідь

I_L = 84,69 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 526,5 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 38,11 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 12703/(314,2·277,1²) = 526,5 µF

Відповідь

C_ph = 526,5 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 1,15 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 2300/10 = 230 V

I₂ = 230/20 = 11,5 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 1,15 A

Відповідь

I₁ = 1,15 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 2000 Ω, і 2300/2000 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 1313 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 75·0,8 = 60 kW

P_in = 60000/0,975 = 61538 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 61538 − 60000 = 1538 W

P_cu,fl = 1538 − 225 = 1313 W

Відповідь

P_cu,fl = 1313 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 13,23 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 2160/12² = 15 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 240/12 = 20 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(20² − 15²) = 13,23 Ω

Відповідь

X = 13,23 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 85,2 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 87·tan(arccos 0,65) = 101,7 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 101,7²) = 172,2 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 172,2 − 87 = 85,2 kW

Відповідь

ΔP = 85,2 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,4826

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 25,13 Ω, X_C = 79,58 Ω

Повний опір

|Z| = √(30² + (−54,44)²) = 62,16 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 30/62,16 = 0,4826

Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,4826

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 3979 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,01·10⁻⁶)) = 35588 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,002/(0,01·10⁻⁶)) = 8,944

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 35588/8,944 = 3979 Hz

Відповідь

B = 3979 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₀ = 1146 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 48/0,4 = 120 rad/s

n₀ = 60·120/(2π) = 1146 rpm

Відповідь

n₀ = 1146 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₂ = 942,4 rpm

Зворотна ЕРС до і після

E₁ = 220 − 20·0,8 = 204 V

E₂ = 220 − 8·0,8 = 213,6 V

Нова швидкість

n₂ = 900·213,6/204 = 942,4 rpm

Відповідь

n₂ = 942,4 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems