Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 90 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 95%, а коефіцієнт потужності 0,8, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 90 kWη = 95%cos φ = 0,8V_L = 400 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 4:1 підключено резистор 8 Ω. Знайдіть опір R_1′ з боку первинної обмотки.

N₁:N₂ = 4:1R_L = 8 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 1500 W і втрати в міді 2250 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 500 kVAP_core = 1500 WP_cu,fl = 2250 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 20 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним) і навантаження 30 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 240 VP₁ = 20 kW, pf₁ = 0,8 відстаючийP₂ = 30 kW, pf₂ = 0,7 відстаючий

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 50 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V = 230 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 100 mH має резонувати на частоті 500 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 500 HzL = 100 mH

C = µF

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 24 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 24 V (rms)R = 5 ΩL = 5 mHC = 1 µF

V_L = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 4 A від джерела 24 V. Його опір якоря — 0,2 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 4 W. Знайдіть його ККД η.

V = 24 VI_a = 4 AR_a = 0,2 ΩP_rot = 4 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Малий двигун постійного струму має опір якоря 1 Ω і працює від 110 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність P_max, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 110 VR_a = 1 Ω

P_max = W

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 170,9 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 90/0,95 = 94,74 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 94737/(√3·400·0,8) = 170,9 A

Відповідь

I_L = 170,9 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 199,6 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,78) = 80·0,8023 = 64,18 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 30,1 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 10034/(314,2·400²) = 199,6 µF

Відповідь

C_ph = 199,6 µF

3.Трансформатори

Відповідь: R_1′ = 128 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R_1′ = a²·R_L = 4²·8 = 128 Ω

Відповідь

R_1′ = 128 Ω

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 408,2 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·2250 = 1500 → x = √(1500/2250) = 0,8165

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,8165·500 = 408,2 kVA

Відповідь

S_η,max = 408,2 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,7388

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 20·tan(arccos 0,8) = 15 kvar

Q₂ = 30·tan(arccos 0,7) = 30,61 kvar

Сумарні значення

P = 20 + 30 = 50 kW

Q = 15 + 30,61 = 45,61 kvar

S = √(50² + 45,61²) = 67,68 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 50/67,68 = 0,7388 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,7388

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 228,8 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(41,41°) = 44,1 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(18,19°) = 16,43 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 27,66 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 50000/(230·0,95) = 228,8 A

Відповідь

I_new = 228,8 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 1,013 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,1) = 1,013 µF

Відповідь

C = 1,013 µF

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 339,4 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 24/5 = 4,8 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 14142·0,005 = 70,71 Ω

V_L = I·X_L = 4,8·70,71 = 339,4 V

Відповідь

V_L = 339,4 V

Це в Q = 14,14 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 92,5 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 24·4 = 96 W

P_dev = 23,2·4 = 92,8 W

P_out = 92,8 − 4 = 88,8 W

ККД

η = 88,8/96·100 = 92,5 %

Відповідь

η = 92,5 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: P_max = 3025 W

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V

Максимальна потужність

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 110²/(4·1) = 3025 W

Відповідь

P_max = 3025 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems