Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 30 A від мережі з лінійною напругою 480 V. Коефіцієнт потужності 0,75, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 480 VI_L = 30 Acos φ = 0,75

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 300 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 5:1 прикладено 1200 V. До вторинної обмотки підключено резистор 8 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1200 VR_L = 8 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 75 kVA має втрати в сталі 375 W і втрати в міді 937,5 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 75 kVAP_core = 375 WP_cu,fl = 937,5 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 9 A і 1620 W від однофазної мережі 240 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 240 VI = 9 AP = 1620 W

X = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 25 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 25 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V = 240 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 24 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mH

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 1 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 10 mHC = 0,1 µF

V_L = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 1 N·m/A і R_a = 0,8 Ω під’єднано до 110 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 110 Vk = 1 N·m/AR_a = 0,8 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 0,25 Ω) на сталій напрузі 220 V приводить навантаження 24 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 800 rpm.

V = 220 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 24 N·mn = 800 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 18,71 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·480·30 = 24,94 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 24,94·0,75 = 18,71 kW

Відповідь

P = 18,71 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 842,6 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,75) = 300·0,8819 = 264,6 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,92) = 300·0,426 = 127,8 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 136,8 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 45592/(314,2·415²) = 842,6 µF

Відповідь

C_ph = 842,6 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 6 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 1200/5 = 240 V

I₂ = 240/8 = 30 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 6 A

Відповідь

I₁ = 6 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 200 Ω, і 1200/200 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 47,43 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·937,5 = 375 → x = √(375/937,5) = 0,6325

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,6325·75 = 47,43 kVA

Відповідь

S_η,max = 47,43 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 17,64 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 1620/9² = 20 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 240/9 = 26,67 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(26,67² − 20²) = 17,64 Ω

Відповідь

X = 17,64 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 937,9 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(41,41°) = 22,05 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(11,48°) = 5,076 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16,97 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 16971/(2π·50·240²) = 937,9 µF

Відповідь

C = 937,9 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 46,7 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·100·0,15 = 94,25 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 24/100 = 0,24 A

I_X = V/X_L = 24/94,25 = 0,2546 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,24² + 0,2546²) = 0,3499 A

Кут зсуву фаз

Струм котушки відстає від V, тож загальний струм відстає, і кут додатний.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0,2546/0,24) = 46,7°

Відповідь

φ = 46,7°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 31,62 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,1·10⁻⁶) = 31623 rad/s

I = V/R = 1/10 = 0,1 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 31623·0,01 = 316,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·316,2 = 31,62 V

Відповідь

V_L = 31,62 V

Це в Q = 31,62 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 137,5 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 110/0,8 = 137,5 A

Стопорний момент

T_stall = 1·137,5 = 137,5 N·m

Відповідь

T_stall = 137,5 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 4,849 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 24/0,8 = 30 A

E = 0,8·83,78 = 67,02 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (220 − 67,02)/30 = 5,099 Ω

R_s = 4,849 Ω

Відповідь

R_s = 4,849 Ω

Резистор розсіює 4364 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems