Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 16 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 400 VZ = 16 + j12 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 500 kVA, 4800/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 500 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 25 kVA має втрати в сталі 200 W і втрати в міді 300 W при номінальному навантаженні. Він віддає 25% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 25 kVAP_core = 200 WP_cu,fl = 300 Wx = 0,25pf = 0,8

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 6 kW при коефіцієнті потужності 0,85 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 6 kWpf = 0,85V = 240 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 24 V (діюче значення), 50 Hz має внутрішній опір Z_s = 20 + j20 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Навантаження для максимальної потужності складається з резистора, послідовно з’єднаного з конденсатором. Знайдіть ємність C.

V_s = 24 V (rms)f = 50 HzZ_s = 20 + j20 Ω

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

P = W

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,2 N·m/A, R_a = 0,4 Ω) працює від 48 V і приводить навантаження з моментом 3 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 48 Vk = 0,2 N·m/AR_a = 0,4 ΩT = 3 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,75 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) від шини постійного струму 240 V. Середня напруга якоря дорівнює D·240 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 1000 rpm з навантаженням 15 N·m.

V_dc = 240 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 15 N·mn = 1000 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 6,4 kW

Фазна напруга

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Фазний струм

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I_ph = 230,9/20 = 11,55 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·11,55²·16 = 6,4 kW

Відповідь

P = 6,4 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 300,1 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54,31 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 18103/(377·400²) = 300,1 µF

Відповідь

C_ph = 300,1 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 2083 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 500000/240 = 2083 A

Відповідь

I_LV = 2083 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 218,8 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·300 = 18,75 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 200 + 18,75 = 218,8 W

Відповідь

P_loss = 218,8 W

ККД при цьому навантаженні η = 95,81%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 3,718 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 6·0,6197 = 3,718 kvar

Відповідь

Q = 3,718 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 159,2 µF

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 20 − j20 Ω

Ємність

X_C = 20 Ω → C = 1/(2π·50·20) = 159,2 µF

Відповідь

C = 159,2 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 45,07 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 314,2 Ω, X_C = 144,7 Ω

Повний опір

|Z| = √(25² + (169,5)²) = 171,3 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 230/171,3 = 1,343 A

P = I²·R = 1,343²·25 = 45,07 W

Відповідь

P = 45,07 W

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 7,72 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (169,5)²) = 187,4 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/187,4 = 0,05336 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,05336·144,7 = 7,72 V

Відповідь

V_C = 7,72 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 2005 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 3/0,2 = 15 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 48 − 15·0,4 = 42 V

ω = E/k = 210 rad/s → n = 2005 rpm

Відповідь

n = 2005 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 36,06 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,75·104,7 + 20·0,4 = 86,54 V

Коефіцієнт заповнення

D = 86,54/240 = 36,06 %

Відповідь

D = 36,06 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems