Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У дизайні з повторними вимірюваннями ефекти порядку можна контролювати за допомогою:

AЛише більшої вибірки
BВипадкової вибірки
CКонтрбалансування
DПростого сліпого методу

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідниця порівнює три чи більше групових середніх. Чому вона використовує однофакторний дисперсійний аналіз, а не кілька t-тестів?

AДисперсійний аналіз завжди знаходить більші ефекти, ніж еквівалентний набір t-тестів
Bt-тестам потрібні якісні дані
Ct-тести не працюють із числами понад 100
DКілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 29, 25, 10, 49, 39, 48.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 85?

μ = 70σ = 12x = 85

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 5 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 5p = 0,4

P =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 29,5 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29,5 min

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 6 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −8,6 і стандартне відхилення 7,7. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 6d̄ = −8,6s_d = 7,790%t(5) = 2,015

нижня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 13. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 13E = 495%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 48,88 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,88s = 4n = 25

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 10. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 95%δ = 2,5σ = 10z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (19, 54). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(19, 54)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «сільські, високий».

сума рядка = 52сума стовпця = 53N = 138

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 6 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 6

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Контрбалансування

Чому це відповідь

Контрбалансування рівномірно розподіляє ефекти тренування й втоми між умовами.

Відповідь

C · Контрбалансування

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

Чому це відповідь

Багато попарних тестів множать шанс хибнопозитивного результату. ANOVA перевіряє всі групи разом, після чого виконують скориговані post hoc тести.

Відповідь

D · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 200/6 = 33,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,333)² + (−8,333)² + (−23,33)² + 15,67² + 5,667² + 14,67² = 1125

Стандартне відхилення

s = √(1125/5) = 15

Відповідь

s = 15

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Відповідь

P = 0,8944

5.Імовірність

Відповідь: σ = 2,315

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,1 + 6·0,35 = 3,2

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,1 + 36·0,35 = 15,6

Дисперсія

Var(X) = 15,6 − 3,2² = 5,36

σ = √5,36 = 2,315

Відповідь

σ = 2,315

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,337

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,6⁵ = 0,07776

P(X = 1) = 5·0,4·0,6⁴ = 0,2592

Додайте

P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337

Відповідь

P = 0,337

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (29,5 − 32)/2,5 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 551,3 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Відповідь

x = 551,26 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −14,93 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 5, t = 2,015

Похибка оцінки

E = 2,015·7,7/√6 = 6,334

Інтервал

−8,6 ± 6,334 → [−14,93, −2,266]

Відповідь

нижня межа = −14,93 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 41

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·13/4)² = 40,58

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 41

Відповідь

n = 41

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерію

t = (48,88 − 50)/0,8 = −1,4

Відповідь

t = −1,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 174

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,645)·10/2,5)² = 173,2

Округліть угору

n = 174

Відповідь

n = 174

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9896

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 446/5 = 89,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 296

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2237

Коефіцієнт кореляції

r = 296/√(40·2237) = 0,9896

Відповідь

r = 0,9896

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,4

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 333/5 = 66,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Лінія регресії

b = 136/40 = 3,4

a = 66,6 − 3,4·22 = −8,2

ŷ = −8,2 + 3,4·x

Прогнозоване значення

ŷ = −8,2 + 3,4·19 = 56,4

Залишок

e = 54 − 56,4 = −2,4

Відповідь

e = −2,4

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 19,97

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 52·53/138 = 19,97

Відповідь

E = 19,97

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 4

Ступені вільності

df = 6 − 1 − 1 = 4

Відповідь

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology