Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Публікаційне упередження означає:

AЩо журнали публікують лише якісні дослідження
BЩо дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими
CЩо дослідники публікують те саме дослідження двічі
DЩо рецензенти віддають перевагу роботам авторів із відомих університетів порівняно з менш відомими

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Факторний ANOVA 2 × 3 показує, що препарат покращує пам'ять у молодих дорослих, але не в літніх. Що виявлено?

AЛише головний ефект віку
BВзаємодію препарату й віку
CПомилку I роду
DЕфект підлоги

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 42, 41, 36, 56, 46, 16.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 55?

μ = 60σ = 5x = 55

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,25

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,3 і €40 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€4: p = 0,3€40: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 65 і 83,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 65x₂ = 83,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 11. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 100 спостережень?

95%n₁ = 50E₁ = 11n₂ = 100

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 77,5 kg, стандартне відхилення 2,5 kg. Група ділянок 2: 16 ділянок, середнє 88,5 kg, стандартне відхилення 5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 77,5s₁ = 2,5n₂ = 16x̄₂ = 88,5s₂ = 595%t(20) = 2,086

нижня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 30. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 95,05. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ ≠ 100. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 100σ = 30n = 144x̄ = 95,05H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 88 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 50 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 50n₂ = 100

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 10.

n = 6x = 10

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «денна зміна, значний».

сума рядка = 91сума стовпця = 37N = 184

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

Чому це відповідь

Коли незначущі дослідження залишаються в шухлядах, опублікована література переоцінює розміри ефектів, що спотворює метааналізи.

Відповідь

B · Що дослідження зі значущими результатами публікують частіше, ніж з нульовими

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Взаємодію препарату й віку

Чому це відповідь

Взаємодія виникає, коли ефект одного чинника різниться на різних рівнях іншого. Тут ефект препарату залежить від вікової групи.

Відповідь

B · Взаємодію препарату й віку

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,32

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 237/6 = 39,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 2,5² + 1,5² + (−3,5)² + 16,5² + 6,5² + (−23,5)² = 887,5

Стандартне відхилення

s = √(887,5/5) = 13,32

Відповідь

s = 13,32

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,068

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,6

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,9

Дисперсія

Var(X) = 7,9 − 2,6² = 1,14

σ = √1,14 = 1,068

Відповідь

σ = 1,068

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,4 €

Чисті результати

G: 2 (p = 0,3), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,69)

Математичне сподівання

E(G) = 2·0,3 + 38·0,01 − 2·0,69 = −0,4 €

Відповідь

E(G) = −0,4 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4678

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (65 − 65)/10 = 0

z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85

Площа між

P = Φ(1,85) − Φ(0) = 0,9678 − 0,5 = 0,4678

Відповідь

P = 0,4678

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 473 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Відповідь

x = 473,02 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 7,778

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Нова похибка

E₂ = 11·0,7071 = 7,778

Відповідь

E₂ = 7,778

10.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −15,5 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (5·2,5² + 15·5²)/20 = 20,31

s_p = 4,507

Похибка оцінки

E = 2,086·4,507·√(1/6 + 1/16) = 4,501

Інтервал

−11 ± 4,501 → [−15,5, −6,499]

Відповідь

нижня межа = −15,5 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,0477

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 30/√144 = 2,5

z = (95,05 − 100)/2,5 = −1,98

Площа хвоста

Φ(1,98) = 0,9761

1 − Φ(1,98) = 0,0239

p-значення

p = 2·0,0239 = 0,0477

Відповідь

p = 0,0477

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,56

Вибіркові частки

p̂₁ = 88/250 = 0,352

p̂₂ = 50/100 = 0,5

p̂ = 138/350 = 0,3943

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,3943·0,6057·(1/250 + 1/100)) = 0,05782

Статистика критерію

z = (0,352 − 0,5)/0,05782 = −2,56

Відповідь

z = −2,56

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9089

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 259/5 = 51,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 232,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 46²/(10·232,8) = 0,9089

Відповідь

r² = 0,9089

Близько 90,89% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 112

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 503/6 = 83,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 493

Лінія регресії

b = 493/70 = 7,043

a = 83,83 − 7,043·6 = 41,58

ŷ = 41,58 + 7,043·x

Прогноз

ŷ = 41,58 + 7,043·10 = 112

Відповідь

ŷ = 112

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 18,3

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 91·37/184 = 18,3

Відповідь

E = 18,3

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 14,69

Очікувані частоти

вік 18–30: 36, 24

вік 31–50: 48, 32

вік 51+: 48, 32

Статистика хі-квадрат

χ² = (24 − 36)²/36 + (36 − 24)²/24 + (57 − 48)²/48 + (23 − 32)²/32 + (51 − 48)²/48 + (29 − 32)²/32

χ² = 14,69

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

14,69 > 5,991

Відповідь

χ² = 14,69

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology