Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Який тест підходить для порівняння середніх двох незалежних груп з інтервальними даними, розподіленими приблизно нормально?

AКореляція Пірсона
BТест хі-квадрат
CЗнаково-ранговий тест Вілкоксона
Dt-тест для незалежних вибірок

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

У дослідженнях слухняності Мілґрема учасники вважали, що завдають справжніх ударів струмом. Яку етичну проблему це порушує найбезпосередніше і як її частково розв'язали?

AОбман і можливий дистрес, розв'язані ретельним дебрифінгом
BВідсутність контрольної групи, розв'язана випадковим розподілом учасників за умовами
CБрак конфіденційності, розв'язаний публікацією імен
DЗалучення дітей, розв'язане згодою батьків

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 30, 50, 18, 34, 59.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 150.

μ = 170σ = 10x = 150

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.

n = 10k = 4

N =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,3 і €10 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€4: p = 0,3€10: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 764,8 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 764,8 g

P =

8.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 70% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g70%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 120,5 h, відоме стандартне відхилення 5 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 114,5 h, відоме стандартне відхилення 9 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 120,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 114,5 hσ₂ = 9 h99%

E = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 20 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 6,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 19 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 8,907 і 2,5 % — вище від 32,852.

n = 20s = 6,9 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 18. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 498,8. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 500σ = 18n = 144x̄ = 498,8H₁: μ < μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 180 з 300 пацієнтів, які отримували лікування A, і 165 з 250 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 180n₁ = 300x₂ = 165n₂ = 250

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (7, 19). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(7, 19)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 7 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 7

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · t-тест для незалежних вибірок

Чому це відповідь

t-тест для незалежних вибірок порівнює два групові середні. Хі-квадрат — для частот; Вілкоксон — для пов'язаних вибірок із непараметричними даними.

Відповідь

D · t-тест для незалежних вибірок

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Обман і можливий дистрес, розв'язані ретельним дебрифінгом

Чому це відповідь

Учасників обманули щодо ударів струмом, і багато з них відчували сильний стрес. Мілґрем провів дебрифінг і влаштував зустріч з «учнем»; подальше опитування показало, що більшість раді були взяти участь, але етичні питання досі обговорюють.

Відповідь

A · Обман і можливий дистрес, розв'язані ретельним дебрифінгом

3.Описова статистика

Відповідь: s = 16,32

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 191/5 = 38,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−8,2)² + 11,8² + (−20,2)² + (−4,2)² + 20,8² = 1065

Стандартне відхилення

s = √(1065/4) = 16,32

Відповідь

s = 16,32

4.Описова статистика

Відповідь: z = −2

Стандартизуйте

z = (150 − 170)/10 = −2

Відповідь

z = −2

5.Імовірність

Відповідь: N = 210

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

Відповідь

N = 210

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,3 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 3 (p = 0,3), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,69)

Математичне сподівання

E(G) = 3·0,3 + 9·0,01 − 1·0,69 = 0,3 €

Відповідь

E(G) = 0,3 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (764,8 − 750)/9,849 = 1,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 247,4 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Відповідь

x = 247,4 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,806 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 120,5 − 114,5 = 6

Стандартна похибка

SE = √(5²/30 + 9²/60) = 1,478

Похибка оцінки

E = 2,576·1,478 = 3,806

Відповідь

E = 3,806 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 10,08 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 19·6,9² = 904,6

Межі для σ²

904,6/32,852 = 27,54

904,6/8,907 = 101,6

Межа для σ

σ = √101,6 = 10,08 µm

Відповідь

σ = 10,08 µm

95 % інтервал для σ: [5,247, 10,08] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,2119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5

z = (498,8 − 500)/1,5 = −0,8

Площа хвоста

Φ(0,8) = 0,7881

1 − Φ(0,8) = 0,2119

p-значення

p = 0,2119

Відповідь

p = 0,2119

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,449

Вибіркові частки

p̂₁ = 180/300 = 0,6

p̂₂ = 165/250 = 0,66

p̂ = 345/550 = 0,6273

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,6273·0,3727·(1/300 + 1/250)) = 0,04141

Статистика критерію

z = (0,6 − 0,66)/0,04141 = −1,449

Відповідь

z = −1,449

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9306

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 398/6 = 66,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1169

Коефіцієнт детермінації

r² = 276²/(70·1169) = 0,9306

Відповідь

r² = 0,9306

Близько 93,06% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4,25

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 64/5 = 12,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

Лінія регресії

b = 78/40 = 1,95

a = 12,8 − 1,95·6 = 1,1

ŷ = 1,1 + 1,95·x

Прогнозоване значення

ŷ = 1,1 + 1,95·7 = 14,75

Залишок

e = 19 − 14,75 = 4,25

Відповідь

e = 4,25

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 3,125

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 120·80/200 = 48, 120·120/200 = 72

плацебо: 80·80/200 = 32, 80·120/200 = 48

Статистика хі-квадрат

χ² = (54 − 48)²/48 + (66 − 72)²/72 + (26 − 32)²/32 + (54 − 48)²/48

χ² = 3,125

Відповідь

χ² = 3,125

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 6

Ступені вільності

df = 7 − 1 = 6

Відповідь

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology